[论文解读] Lattice cohomology and Seiberg-Witten invariants of normal surface singularities

Tamás László|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 64被引用 17

一句话总结

本文建立了格上同调、Seiberg-Witten不变量与正常表面奇点的分支3-流形的多变量Ehrhart理论之间的深刻联系。它将格上同调的计算简化为仅在解析图中的“坏”顶点上进行，将Seiberg-Witten不变量识别为拓扑Poincaré级数的周期常数，并将Ehrhart理论推广至具有群作用的多变量级数，为奇点的拓扑不变量提供了一个统一的框架。

ABSTRACT

One of the main questions in the theory of normal surface singularities is to understand the relations between their geometry and topology. The lattice cohomology is an important tool in the study of topological properties of a plumbed 3-manifold M associated with a connected negative definite plumbing graph G. It connects the topological properties with analytic ones when M is realized as a singularity link, i.e. when G is a good resolution graph of the singularity. Its computation is based on the (Riemann-Roch) weights of the lattice points of \Z^s, where s is the number of vertices of G. The first part of the thesis reduces the rank of this lattice to the number of `bad' vertices of the graph. Usually, the geometry/topology of M is encoded exactly by these `bad' vertices and their number measures how far the plumbing graph stays from a rational one. In the second part, we identify the following three objects: the Seiberg-Witten invariant of a plumbed 3-manifold, the periodic constant of its topological Poincare series, and a coefficient of an equivariant multivariable Ehrhart polynomial. For this, we construct the corresponding polytope from the plumbing graph, together with an action of H_1(M,\Z), and we develop Ehrhart theory for them. The effect of the reduction appears also at the level of the multivariable topological Poincare series, simplifying the corresponding polytope and the Ehrhart theory as well. We end the thesis with detailed calculations and examples.

研究动机与目标

• 通过其解析图理解正常表面奇点的拓扑与解析不变量。
• 通过仅关注分支图中的“坏”顶点，降低格上同调的计算复杂度。
• 将分支3-流形的Seiberg-Witten不变量与其中拓扑Poincaré级数的周期常数相联系。
• 将Ehrhart理论推广至具有群作用的多变量级数，以用于格上同调的计算。
• 通过多面体与同调作用统一拓扑不变量，尤其针对有理同调球面的链接。

提出的方法

• 从分支图构造一个带有 $ H_1(M,\mathbb{Z}) $ 作用的多面体，从而实现等变Ehrhart理论。
• 为多变量级数定义周期常数，并建立其性质，推广了单变量情形。
• 在 $ \mathbb{Z}^s $ 上使用Riemann–Roch权来计算格上同调，将秩减少至“坏”顶点的数量。
• 将Seiberg-Witten不变量识别为所构造多面体的等变多变量Ehrhart多项式中的一个系数。
• 利用Poincaré对偶性和交形式对偶性，建立 $ L \to L' $ 的关系，其中 $ L' $ 是 $ L_{\mathbb{Q}} $ 中的对偶格。
• 利用负定交形式 $ \mathfrak{I} $ 及其逆，定义具有严格正项的对偶循环 $ E_j^* $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过仅关注分支图中的“坏”顶点来简化格上同调的计算？
• RQ2 Seiberg-Witten不变量与拓扑Poincaré级数的周期常数之间的确切关系是什么？
• RQ3 在奇点不变量的背景下，如何将Ehrhart理论推广至具有群作用的多变量级数？
• RQ4 格秩的减少如何影响拓扑Poincaré级数及其周期常数的结构？
• RQ5 Seiberg-Witten不变量能否作为等变多变量Ehrhart多项式中的一个系数被恢复？

主要发现

• 格上同调的计算被简化为“坏”顶点的数量，将原始的 $ \mathbb{Z}^s $-格简化为一个低秩格。
• 分支3-流形的Seiberg-Witten不变量等于其拓扑Poincaré级数的周期常数。
• 周期常数被推广至多变量级数，并首次在此背景下建立了其性质。
• 与分支图相关的多面体的等变多变量Ehrhart多项式将Seiberg-Witten不变量编码为一个系数。
• 格秩的降低也简化了相应的多变量拓扑Poincaré级数及其Ehrhart理论。
• 通过 $ H_1(M,\mathbb{Z}) $-作用构造多面体，为通过组合与代数工具实现拓扑不变量的几何实现提供了支持。