[论文解读] Lattice Index Theorem and Fractional Topological Charge

Roman Höllwieser, M. Faber+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用 14

一句话总结

本文使用重叠费米子和Asqtad阶梯费米子，在基础表示和伴随表示中研究了经典球形中心弦在晶格指标定理中的违反现象。研究发现，规范荷与狄拉克算符的指标之间存在差异，该差异在数值上等于从 $S^3$ 到 $SU(2)$ 的球面映射的卷绕数，并提供了在冷却过程中出现分数拓扑荷 $Q = 1/2$ 的证据，该荷被识别为狄拉克单极子，其规范场在无穷远处衰减，且在周期性边界条件下无需反单极子即可保持电荷中性。

ABSTRACT

We study topological properties of classical spherical center vortices with the low-lying eigenmodes of the Dirac operator in the fundamental and adjoint representations using both the overlap and asqtad staggered fermion formulations. In particular we address the puzzle raised in a previous work of our group [Phys.\ Rev.\ D 77, 14515 (2008)], where we found a violation of the lattice index theorem with the overlap Dirac operator in the fundamental representation even for "admissible" gauge fields. Here we confirm the discrepancy between the topological charge and the index of the Dirac operator also for asqtad staggered fermions and the adjoint representation. Numerically, the discrepancy equals the sum of the winding numbers of the spheres when they are regarded as maps $\mathbbm R^3 \cup \{\infty\} o SU(2)$. Furthermore we find some evidence for fractional topological charge during cooling the spherical center vortex on a $40^3 imes 2$ lattice. The object with topological charge $Q=1/2$ we identify as a Dirac monopole with a gauge field fading away at large distances. Therefore even for periodic boundary conditions it does not need an antimonopole.

研究动机与目标

• 解决在重叠狄拉克形式中，对光滑、'可接受'规范场之前观察到的晶格指标定理违反问题。
• 研究当使用改进的阶梯费米子和在伴随表示中时，该差异是否仍然存在。
• 探索在有限晶格上球形弦冷却过程中分数拓扑荷的起源。
• 确定在周期性边界条件下，此类分数荷构型是否可在无反单极子的情况下存在。

提出的方法

• 使用时间方向的规范链接，其相位分布 $\alpha_\pm(r)$ 在 0 和 $\pi$ 之间插值，构建 SU(2) 晶格 gauge 理论中的厚球形中心弦。
• 通过晶格 $F\tilde{F}$ 密度计算拓扑荷，并与基础表示和伴随表示中狄拉克算符的指标进行比较。
• 使用重叠费米子和 Asqtad 阶梯费米子形式分别计算指标，并分析零模局域化特性。
• 对规范构型应用冷却，以研究拓扑荷的演化并探测瞬态的分数荷态。
• 通过 Polyakov 环、规范链接、环面和单极子构型分析规范场结构，以识别狄拉克单极子行为。
• 将弦构型映射为连续映射 $S^3 \to SU(2)$，以计算卷绕数，并将其与指标差异关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用 Asqtad 阶梯费米子而非重叠费米子时，晶格指标定理的违反是否仍然存在？
• RQ2 拓扑荷与狄拉克指标之间的差异是否与球面映射到 $SU(2)$ 的卷绕数有关？
• RQ3 在球形弦的冷却过程中，是否会出现分数拓扑荷 $Q = 1/2$？其物理解释是什么？
• RQ4 分数荷态是否对应于一个狄拉克单极子，其电荷在周期性边界条件下无需反单极子即可中和？
• RQ5 规范场构型在冷却过程中如何演化？Polyakov 环和环面结构在识别单极子行为中起什么作用？

主要发现

• 拓扑荷与狄拉克算符指标之间的差异在数值上等于球面映射到 $SU(2)$ 时的卷绕数，证实了该异常具有拓扑起源。
• 在基础表示中使用 Asqtad 阶梯费米子时，同样观察到指标定理的违反，表明该现象在不同费米子形式下具有鲁棒性。
• 在 $40^3 \times 2$ 晶格弦的冷却过程中，伴随表示中的指标显示出瞬态的拓扑荷 $Q \approx 1/2$。
• 该 $Q = 1/2$ 态被识别为具有中心奇点的狄拉克单极子，其规范场在无穷远处衰减，与非阿贝尔单极子结构一致。
• 由于 $SU(2)$ 规范场的非平凡拓扑，该单极子即使在周期性边界条件下也无需反单极子来中和其电荷。
• Polyakov 环轮廓和链接/环面矢量对齐结果证实了类单极子结构和单极子行为的存在，冷却第 130 步时出现明显转变，单极子消失。