[论文解读] Lattice Models for Phases and Transitions with Non-Invertible Symmetries

Lakshya Bhardwaj, Lea E. Bottini+2 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2024

Quantum chaos and dynamical systems被引用 19

一句话总结

本文构建了 UV anyon-chain lattice 模型，实现由非可逆（融合范畴）对称性保护的 IR 相与转变，来自 SymTFT 数据，并分析了未扭曲部和对称性扭曲部，以及包括有缺口和无缺口的相与序参数。

ABSTRACT

Non-invertible categorical symmetries have emerged as a powerful tool to uncover new beyond-Landau phases of matter, both gapped and gapless, along with second order phase transitions between them. The general theory of such phases in (1+1)d has been studied using the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT), also known as topological holography. This has unearthed the infrared (IR) structure of these phases and transitions. In this paper, we describe how the SymTFT information can be converted into an ultraviolet (UV) anyonic chain lattice model realizing, in the IR limit, these phases and transitions. In many cases, the Hilbert space of the anyonic chain is tensor product decomposable and the model can be realized as a quantum spin-chain Hamiltonian. We also describe operators acting on the lattice models that are charged under non-invertible symmetries and act as order parameters for the phases and transitions. In order to fully describe the action of non-invertible symmetries, it is crucial to understand the symmetry twisted sectors of the lattice models, which we describe in detail. Throughout the paper, we illustrate the general concepts using the symmetry category $\mathsf{Rep}(S_3)$ formed by representations of the permutation group $S_3$, but our procedure can be applied to any fusion category symmetry.

研究动机与目标

• 将基于对称性的相的分类扩展到具有融合范畴（非可逆）对称性的晶格模型。
• 将 SymTFT 数据转化为实现 IR 有缺口和无缺口相的 UV anyon-chain 哈密顿量。
• 在晶格上表征对称性作用、扭曲部和广义电荷，以诊断相与转变。
• 使用 Rep(S3) 和阿贝尔群样的对称性提供具体示例来说明该构建。

提出的方法

• 从输入数据(C, M, ρ, h) 定义 UV anyon-chain 模型，令 S = C∗M 作为对称性。
• 在圆上构建未扭曲和扭曲部的希尔伯特空间，并从局部移动(2.4)构建哈密顿量 H = −∑ hi。
• 将格子实现解释为3d TQFT Z(C)的边界，并通过 SymTFT 框架实现与 H commute 的 S 操作。
• 描述对称性电荷如何落在 Drinfeld 中心 Z(S) 中，以及局部算符如何在未扭曲和扭曲扇区之间映射(2.14–2.18)。
• 在模范类 M 与 M′ 之间的 gauging 产生新的 S′-对称模型，通过改变边界条件实现(2.9)。
• 以阿贝尔群对称性 (VecG) 和 Rep(S3) 作为具体示例来说明扇区结构和算符内容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 SymTFT 数据转化为实现非可逆对称性的 UV anyon-chain晶格模型？
• RQ2 晶格上如何实现未扭曲扇区和对称性扭曲扇区，以及广义电荷在其中的作用？
• RQ3 在 S-对称晶格模型中会出现哪些有缺口和无缺口的相，以及如何通过晶格序参数诊断？
• RQ4 对称性的 gauging 如何影响晶格模型及其相结构？
• RQ5 哪些具体算符构造实现 S-带电多重性及其在 Rep(S3) 与阿贝尔情形下对扭曲扇区的作用？

主要发现

• 从 SymTFT 数据系统地构建 (1+1)d anyon-chain晶格模型的程序，实现 S 对称的有缺口和无缺口相。
• 有缺口相对应于 SymTFT 的拓扑边界条件，通过在 C 中选择适当的 Frobenius 代数获得有缺口边界。
• 晶格模型上的对称性作用包括未扭曲和对称性扭曲扇区，扭曲扇区希尔伯特空间由简单的 S-对象标记，并通过 S 动作相互连接。
• 非可逆对称 S 的广义电荷由 SymTFT 中的拓扑线编码，并作为带有 S 电荷的晶格算符实现，包括它们的融合和 braiding 数据。
• 扭曲与未扭曲的局部算符形成由 Drinfeld 中心 Z(S) 标记的多重性；它们的作用在晶格态上实现 S 对称性，并使序参数的构造成为可能。
• 对 M′ 的 gauging 产生新的 S′-对称晶格模型，说明在不同边界条件下相结构如何重新组织。