[论文解读] Lattice p-Form Electromagnetism and Chain Field Theory

Derek K. Wise|ArXiv.org|Oct 8, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文通过阿贝尔群的链复形提出了一种p形式电磁学的离散化形式，使得规范场论可推广至常规晶格之外的任意离散时空。核心贡献是提出了“链场论”——一种拓扑量子场论的离散类比，支持时空截面间的时间演化，并可通过欧氏路径积分实现量子化，其收敛性由霍奇理论与上同调结构保证。

ABSTRACT

Since Wilson's work on lattice gauge theory in the 1970s, discrete versions of field theories have played a vital role in fundamental physics. But there is recent interest in certain higher dimensional analogues of gauge theory, such as p-form electromagnetism, including the Kalb-Ramond field in string theory, and its nonabelian generalizations. It is desirable to discretize such `higher gauge theories' in a way analogous to lattice gauge theory, but with the fundamental geometric structures in the discretization boosted in dimension. As a step toward studying discrete versions of more general higher gauge theories, we consider the case of p-form electromagnetism. We show that discrete p-form electromagnetism admits a simple algebraic description in terms of chain complexes of abelian groups. Moreover, the model allows discrete spacetimes with quite general geometry, in contrast to the regular cubical lattices usually associated with lattice gauge theory. After constructing a suitable model of discrete spacetime for p-form electromagnetism, we quantize the theory using the Euclidean path integral formalism. The main result is a description of p-form electromagnetism as a `chain field theory' -- a theory analogous to topological quantum field theory, but with chain complexes replacing manifolds. This, in particular, gives a notion of time evolution from one `spacelike slice' of discrete spacetime to another.

研究动机与目标

• 开发一种离散的、规范不变的p形式电磁学形式，将晶格规范场论推广至非规则立方晶格之外。
• 利用n复形构建离散时空模型，支持任意几何结构，而不仅限于规则晶格。
• 提出一种基于离散时空的p形式电磁学路径积分量子化程序。
• 建立一个框架——“链场论”——通过以链复形替代流形，推广拓扑量子场论。
• 利用霍奇理论与上同调判据，证明在p+1维空间中路径积分的离散化无关性与收敛性。

提出的方法

• 将离散时空建模为n复形，其中p-胞腔代表p维几何元素，推广了晶格的概念。
• 将p形式场表示为上同调复形中的上链，外微分d通过链群之间的边界算子实现。
• 通过上链上的二次型定义离散p形式电磁学的行动量，类比连续麦克斯韦作用量。
• 在环面上应用高斯路径积分形式，计算期望值，利用对称正定矩阵及其逆矩阵的结构。
• 利用霍奇定理与上同调分解分析路径积分的收敛性，确保拓扑不变性。
• 从作用量原理推导出离散p形式麦克斯韦方程，证明其与连续极限的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以保持规范不变性并支持任意时空几何的方式对p形式电磁学进行离散化？
• RQ2 能否构建一种离散时空模型，避免规则晶格带来的对称性破缺，并支持类微分同胚不变性？
• RQ3 p形式场的拓扑量子场论的适当离散类比是什么？
• RQ4 如何定义离散p形式电磁学的欧氏路径积分，并证明其收敛性？
• RQ5 上同调在确保量子理论中离散化无关性与拓扑不变性方面起什么作用？

主要发现

• 本文确立了可利用阿贝尔群的链复形代数化地表述离散p形式电磁学，为连续场论提供了严格的离散类比。
• 当作用量中的二次型为正定时，U(1) p形式电磁学的路径积分收敛，确保了量子振幅的良定义性。
• 该模型支持任意离散时空，不限于规则立方晶格，因此支持更广泛的几何离散化类别。
• 该理论在p+1维中表现出离散化无关性，即物理可观测量不依赖于离散时空结构的具体选择。
• 链场论框架提供了从一个时空空间截面到另一个的时间演化概念，推广了离散场论中的动力学概念。
• 在离散设置中重现了p形式玻姆-艾赫伦鲍效应，通过上同调不变量证实了该理论的拓扑本质。