[论文解读] Lattice Path Matroid Polytopes

Hoda Bidkhori|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文研究了格路拟阵多面体——由格路拟阵中基的指示向量的凸包构成的多面体，这些格路拟阵编码了介于两条格路之间的路径。本文利用整数数组和标准杨表给出了这些多面体的Ehrhart多项式与体积的公式，揭示了其体积等于与路径边界相关的特定形状的标准杨表数目。

ABSTRACT

Fix two lattice paths $P$ and $Q$ from $(0,0)$ to $(m,r)$ that use East and North steps with $P $ never going above $Q$. Bonin et al. show that the lattice paths that go from $(0,0)$ to $(m,r)$ and remain bounded by $P$ and $Q$ can be identified with the bases of a particular type of transversal matroid, which we call it a lattice path matroid. In this paper, we consider properties of lattice path matroid polytopes. These are the polytopes associated to the lattice path matroids. We investigate their face structure, decomposition, triangulation, Ehrhart polynomial and volume.

研究动机与目标

• 研究格路拟阵多面体的组合与几何性质，这是一类由有界格路生成的特殊拟阵多面体。
• 确定这些多面体的面结构、分解方式与三角剖分。
• 利用组合不变量计算格路拟阵多面体的Ehrhart多项式与体积。
• 建立多面体体积与给定形状的标准杨表数之间的联系。
• 通过满足特定不等式的数组，给出多面体稀释版本中整数点数目的公式。

提出的方法

• 通过从 $(0,0)$ 到 $(m,r)$ 的两条格路 $P$ 和 $Q$ 定义格路拟阵，其中 $P$ 永远不高于 $Q$，并将位于该区域内的路径识别为基。
• 将拟阵多面体 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ 表示为这些基的指示向量的凸包。
• 引入整数数组集合 $\Gamma(P,Q)$，其元素 $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_r)$ 满足 $\alpha_i \geq 1$，$\sum \alpha_i = m+r$，以及由路径边界导出的累积和约束。
• 通过变量替换 $c_i = x_1 + \cdots + x_i$，将多面体转化为由不等式 $p_i \leq c_i \leq q_i$ 定义的区域。
• 在 $t\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ 中的整数点与满足 $t$-缩放区间约束的非减 $c_i$ 值序列之间建立双射。
• 通过 $\alpha \in \Gamma(P,Q)$ 与 $s \in S_r(t)$ 的求和，推导出Ehrhart多项式，其中二项式系数用于计算每个区块中有效序列的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 格路拟阵多面体的面结构是怎样的？它们如何分解为更小的组成部分？
• RQ2 如何根据边界路径的组合数据计算格路拟阵多面体的Ehrhart多项式？
• RQ3 格路拟阵多面体的体积是多少？它与标准杨表的数目有何关系？
• RQ4 多面体稀释版本中的整数点如何对应于组合数组与序列？
• RQ5 能否通过基于路径的不变量刻画这些多面体的三角剖分与分解？

主要发现

• 在 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ 的第 $t$ 个稀释版本中，整数点的数目等于 $|\Gamma(P,Q)|$，即满足路径边界约束的有效整数数组的数目。
• 多面体 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ 的Ehrhart多项式由 $\alpha \in \Gamma(P,Q)$ 与 $s \in S_r(t)$ 的求和给出，其项包含二项式系数 $\binom{t+1-s_1}{\alpha_1}$、$\binom{t-s_{2i-1}-s_{2i-2}}{\alpha_i}$ 与 $\binom{t-s_{2r-2}}{\alpha_r}$。
• 多面体 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ 的体积等于形状 $S(p)$ 的标准杨表数目，其中 $p$ 遍历 $[P,Q]$ 中的所有路径。
• 多面体 $\mathcal{P}(\mathcal{M}[P,Q])$ 通过超平面分割分解为连通分量，每个分量对应于有界区域内的一条路径 $p$。
• 多面体的三角剖分与该分解相容，且每个分量 $\mathcal{P}(S(p))$ 的体积等于形状 $S(p)$ 的标准杨表数目。
• Ehrhart多项式完全由边界路径 $P$ 与 $Q$ 的组合结构决定，其编码于数组 $\Gamma(P,Q)$ 与序列集 $S_r(t)$ 中。