[论文解读] Lattice paths and branched continued fractions: An infinite sequence of generalizations of the Stieltjes--Rogers and Thron--Rogers polynomials, with coefficientwise Hankel-total positivity

Mathias Pétréolle, Alan D. Sokal+1 more|UCL Discovery (University College London)|Jul 9, 2018

Mathematical functions and polynomials被引用 5

一句话总结

本文引入了一个无限族广义 Stieltjes–Rogers 与 Thron–Rogers 多项式，其由整数 $ m \geq 1 $ 索引，通过分支连分数与高度依赖权重的格路计数定义。主要贡献在于证明了所有此类多项式序列的系数-wise Hankel-完全正定性，将经典结果推广至具有 Fuss–Narayana 与 Eulerian 多项式等应用的广义多变量框架，以及相邻超几何与基本超几何级数的比值。

ABSTRACT

We define an infinite sequence of generalizations, parametrized by an integer $m \ge 1$, of the Stieltjes--Rogers and Thron--Rogers polynomials; they arise as the power-series expansions of some branched continued fractions, and as the generating polynomials for $m$-Dyck and $m$-Schröder paths with height-dependent weights. We prove that all of these sequences of polynomials are coefficientwise Hankel-totally positive, jointly in all the (infinitely many) indeterminates. We then apply this theory to prove the coefficientwise Hankel-total positivity for combinatorially interesting sequences of polynomials. Enumeration of unlabeled ordered trees and forests gives rise to multivariate Fuss--Narayana polynomials and Fuss--Narayana symmetric functions. Enumeration of increasing (labeled) ordered trees and forests gives rise to multivariate Eulerian polynomials and Eulerian symmetric functions, which include the univariate $m$th-order Eulerian polynomials as specializations. We also find branched continued fractions for ratios of contiguous hypergeometric series ${}_r \! F_s$ for arbitrary $r$ and $s$, which generalize Gauss' continued fraction for ratios of contiguous ${}_2 \! F_1$; and for $s=0$ we prove the coefficientwise Hankel-total positivity. Finally, we extend the branched continued fractions to ratios of contiguous basic hypergeometric series ${}_r \! ϕ_s$.

研究动机与目标

• 将经典的 Stieltjes–Rogers 与 Thron–Rogers 多项式系统性地推广为由 $ m \geq 1 $ 索引的无限族，保留组合与代数结构。
• 在所有变量上建立这些广义多项式的系数-wise Hankel-完全正定性，将经典完全正定性推广至分支连分数展开。
• 通过带权重步长的 $ m $-Dyck 与 $ m $-Schröder 路径，统一并推广组合序列如 Fuss–Narayana 与 Eulerian 多项式。
• 为相邻超几何级数 $ {}_rF_s $ 的比值构造分支连分数，并证明其系数-wise Hankel-完全正定性。
• 通过生成矩阵与格路组合学，为多变量多项式序列中的完全正定性提供系统性框架。

提出的方法

• 将 $ m $-Stieltjes–Rogers 与 $ m $-Thron–Rogers 多项式定义为带高度依赖权重的 $ m $-Dyck 与 $ m $-Schröder 路径的生成函数。
• 构造系数对应于多项式序列中变量的分支连分数，推广经典 S- 与 T-分数。
• 使用生成矩阵刻画多项式的递推结构，其条目由路径权重与组合规则导出。
• 应用 Lindström–Gessel–Viennot 引理，通过非相交格路分解证明完全正定性。
• 运用涉及矩阵分解与相邻关系的代数技巧，为超几何级数比值推导分支连分数。
• 通过证明由系数构成的 Hankel 矩阵的所有子式在多项式环中非负，证明系数-wise Hankel-完全正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地将经典 Stieltjes–Rogers 与 Thron–Rogers 多项式推广为由 $ m \geq 1 $ 索引的无限族，同时保持组合与代数结构？
• RQ2 这些广义多项式是否在所有变量上表现出系数-wise Hankel-完全正定性，若然，其权重需满足何种条件？
• RQ3 能否为相邻超几何级数 $ {}_rF_s $ 的比值构造分支连分数，且这些展开是否具有系数-wise Hankel-完全正定性？
• RQ4 多变量 Fuss–Narayana 与 Eulerian 多项式如何作为这些广义多项式的特例出现？
• RQ5 使用 $ m $-S-分数表达 Apéry 数或 B 型 Narayana 多项式等序列时存在何种局限性？

主要发现

• 通过生成矩阵与 Lindström–Gessel–Viennot 引理，证明了 $ m $-Stieltjes–Rogers 与 $ m $-Thron–Rogers 多项式在所有变量上均为系数-wise Hankel-完全正定。
• 多变量 Fuss–Narayana 多项式与对称函数作为周期性权重下 $ m $-Dyck 路径的生成函数出现，且为系数-wise Hankel-完全正定。
• 多变量 Eulerian 多项式与对称函数（包括单变量 $ m $ 阶 Eulerian 多项式）通过带标签的 $ m $-Schröder 路径被证明为系数-wise Hankel-完全正定。
• 为相邻 $ {}_rF_s $ 超几何级数的比值构造了分支连分数，且对 $ s=0 $ 与一般 $ r,s $ 证明了其系数-wise Hankel-完全正定性。
• 对于基本超几何级数 $ {}_r\phi_s $，推导出相邻项比值的分支连分数，将理论扩展至 $ q $-类比情形。
• 该方法无法以整数系数的 $ m $-S-分数表达 Apéry 数或 B 型 Narayana 多项式等序列，因可除性约束而受限，凸显了该方法的局限性。