[论文解读] Lattice Regularization of Non-relativistic Interacting Fermions in One Dimension

Zihan Li, Son T. Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2026

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 0

一句话总结

论文开发并基准化一维两组分非相对论费米子在吸引性 delta 相互作用下的晶格正则化，将场论结果与二维有限体积的晶格计算进行比较，涵盖二、三、四体系统，并研究离散化与有限长度效应。

ABSTRACT

Few-body physics plays a central role in many branches of physics, such as nuclear physics and atomic physics. Advances in controlling ultra-cold quantum gases provide an ideal testbed for few-body physics theory. In this work, we study few-body systems consisting of two distinct species of non-relativistic fermions in one spatial dimension using both field theory and lattice methods. Particles of the same type do not interact with each other, but particles of different types can interact via an attractive contact interaction. We first study the dependence of the coupling of a contact interaction on the lattice spacing. Using this input, we extract two-, three-, and four-body ground state energies in the infinite length limit and benchmark them against the calculations from the continuum field theory. This work enables us to systematically study the effect of discretization and finite-length artifacts on few-body observables.

研究动机与目标

• 在超冷一维费米子中的少体物理研究动机与在连续极限中建立通用、短程相互作用描述。
• 结合场论与晶格方法量化离散化和有限长度伪影对少体观测量的影响。
• 提取并将二、三、四体系统的基态能量与在无限长度下的连续预测进行比较。
• 提供一个框架来以精确的连续结果为基准评估晶格方法，并识别有限体积外推的局限性。

提出的方法

• 使用二聚体形式来计算两体散射幅度，并在连续极限中不需要正则化即可恢复一维 delta 相互作用的结果。
• 推导并求解费米子-二聚体散射的 Skornyakov-Ter-Martirosyan (STM) 积分方程，以评估三体束缚态结构。
• 将两组分费米子拉格朗日量重写为带有本征吸引的格点哈密顿量（Hubbard 型），以晶格间距 a 作为紫外调节量。
• 用 Exact Diagonalization（QuSpin）对格点哈密顿量进行对角化，在有限盒中获得二、三、四体系统的谱。
• 通过匹配基态能量并使用有限体积（类似 Lüscher 的）外推技术，将晶格参数与连续量量量对应起来。
• 通过固定小 a、增大晶格长度 L 的无限体积极限来考察，并与连续预测进行比较。

Figure 1 : The dimer field’s dressed propagator. The thick empty double line denotes the bare propagator. The solid line represents $\psi_{1}$ ’s propagator while the dashed line represents $\psi_{2}$ ’s propagator. The black circle indicates the insertion of the $g_{1}$ vertex.

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续极限中一维 delta 函数相互作用是否需要正则化，以及这在晶格上的转化如何？
• RQ2 在有限和无限体积下，质量平衡、吸引性 delta 相互作用的一维费米子二、三、四体系统的基态能量是多少，晶格人工伪影如何影响它们？
• RQ3 三体与四体区是否存在新的束缚态，还是只呈现由二体束缚决定的阈值，在连续与晶格结果之间如何比较？
• RQ4 有限体积外推（类似 Lüscher）从晶格数据重建无限体积可观测量的效果如何，主要系统误差是什么？

主要发现

• 二体散射幅度再现标准的一维 delta 势结果，在连续极限下得到一个束缚态，能量为 -mU^2/4。
• 在一维中不会出现新的三体束缚态；三体能量等于两体束缚能，旁观粒子在渐近情况下保持解耦。
• 有限体积晶格计算在无限长度极限时再现两体能量，离散化误差呈 O(a^2) 符号且存在可观测的有限长度效应。
• 对于三体和四体区间，晶格伪影与有限长度效应更为显著，限制精确的连续外推，但提供定性与半定量的见解与基准。
• 两体区在无限体积外推和基于 Lüscher 的关系下，连续与晶格结果一致，验证该晶格方法作为非微扰少体一维系统的工具。

Figure 2 : Feynman diagrams contributing to the fermion-dimer scattering amplitude.