[论文解读] Lattices over Polynomial Rings and Applications to Function Fields

Jens-Dietrich Bauch|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对多项式环 $k[t]$ 上格的约化算法，可在无需幂级数展开的情况下计算函数域中的黎曼-罗赫空间及除子的逐次最小值。该方法将 Lenstra 的方法推广至非整数值长度函数的格，并实现了在 $k$ 上 $O(n^5(h(D) + n^2 C_f)^2 + n^{5+\rho} C_f^{2+\rho} \log q)$ 次运算的复杂度，解决了以往依赖级数近似的算法的局限性。

ABSTRACT

This paper deals with lattices $(L,\Vert~\Vert)$ over polynomial rings, where $L$ is a finitely generated module over $k[t]$, the polynomial ring over the field $k$ in the indeterminate $t$, and $\Vert~\Vert$ is a discrete real-valued length function on $L\otimes_{k[t]}k(t)$. A reduced basis of $(L,\Vert~\Vert)$ is a basis of $L$ whose vectors attain the successive minima of $(L,\Vert~\Vert)$. We develop an algorithm which transforms any basis of $L$ into a reduced basis of $(L,\Vert~\Vert)$. By identifying a divisor $D$ of an algebraic function field with a lattice $(L,\Vert~\Vert)$ over a polynomial ring, this reduction algorithm can be addressed to the computation of the Riemann-Roch space of $D$ and the successive minima of $(L,\Vert~\Vert)$, without the use of any series expansion.

研究动机与目标

• 开发一种适用于多项式环 $k[t]$ 上格的一般约化算法，能够处理非整数值长度函数。
• 消除在计算函数域中除子的黎曼-罗赫空间与逐次最小值时对幂级数展开的依赖。
• 克服 Hess 算法中的缺陷，该算法仅近似逐次最小值而非精确计算。
• 提供一种复杂度优化的方法，用于计算 $\mathcal{L}(D)$ 的基与除子 $D$ 的逐次最小值。
• 建立适用于任意可计算常数域的函数域中格约化的框架。

提出的方法

• 本文定义了 $k[t]$ 上的赋范格 $(L, \|\cdot\|)$，其中 $\|\cdot\|$ 是满足对所有 $a \in k[t]$ 有 $\|ax\| = |a| + \|x\|$ 的离散实值长度函数。
• 引入了约化基的概念，即实现格的逐次最小值的基，并通过引理 1.13 证明其存在性。
• 为非整数值长度函数的格发展了 Lenstra 约化算法的推广，使任意基可被转换为约化基。
• 该方法将函数域中的除子 $D$ 映射为 $k[t]$ 上的格 $(L, \|\cdot\|)$，从而通过格约化计算黎曼-罗赫空间 $\mathcal{L}(D)$。
• 算法使用 Hermite 基计算与涉及 $M$ 和 $M'$ 的矩阵变换，其复杂度主要由矩阵求逆与乘积运算主导。
• 最终算法通过组合 $I$ 的 Hermite 基计算、$I_\infty$ 的约化基以及变换矩阵 $T = MM'^{-1}$，计算出 $\mathcal{L}(D)$ 的 $k$-基与逐次最小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $k[t]$ 上的格开发一种适用于非整数值长度函数的一般约化算法？
• RQ2 能否在不依赖 Puiseux 或洛朗级数展开的情况下计算黎曼-罗赫空间与逐次最小值？
• RQ3 函数域中格约化的复杂度如何随函数域次数与除子高度变化？
• RQ4 该算法能否保持原始格的精确逐次最小值，而非如以往方法仅近似计算？
• RQ5 计算 $\mathcal{L}(D)$ 的 $k$-基与除子 $D$ 的逐次最小值的计算成本，以 $n$、$h(D)$、$C_f$ 与 $q$ 表示时是多少？

主要发现

• 所提出的约化算法可将 $k[t]$ 上任意格的基转换为约化基，实现逐次最小值，并适用于非整数值长度函数。
• 该算法完全避免了级数展开，解决了以往方法依赖常数域扩张与高精度级数计算所引发的技术问题。
• 计算 $\mathcal{L}(D)$ 的 $k$-基与逐次最小值的复杂度被限制在 $O(n^5(h(D) + n^2 C_f)^2 + n^{5+\rho} C_f^{2+\rho} \log q)$ 次 $k$ 上的运算，其中 $\rho > 0$。
• 对于形如 $D = D_0 + D_\infty$ 且 $D_\infty = r(t)_\infty$ 的除子，在特定结构假设下，复杂度可降低为 $O(n^3(h(D) + n^3 C_f)^2 + n^{5+\rho} C_f^{2+\rho} \log q)$。
• 该方法能正确计算原始格的逐次最小值，而 Hess 算法仅提供近似值。
• 变换矩阵 $T = MM'^{-1}$ 是算法的核心，其计算成本主要由矩阵求逆与乘积运算主导，复杂度界为 $O(n^5(h(D) + n^2 C_f)^2)$。