[论文解读] Law and exact sampling of the first passage of a spectrally positive strictly stable process

Zhiyi Chi|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文为指数在 (1, 2) 范围内的谱正严格稳定过程的首通过三元组（时间、下穿量、上穿量）的联合分布提出了一种级数表示。该表示支持对三元组的精确模拟，并推导出关于固定时间点处过程值与运行最大值的联合分布的新结果，以及首通过三元组与首通过前最大值的联合分布。

ABSTRACT

For a spectrally positive and strictly stable process with index in (1, 2), a series representation is obtained for the joint distribution of the passage triplet, i.e., the time, the undershoot, and the overshoot of first passage. The representation is shown to allow exact sampling of the first passage triplet. Consequences of the representation include the joint law of the value and the running maximum of the process at a fixed time point, and a joint law of the first passage triplet and the running maximum before the first passage.

研究动机与目标

• 推导谱正严格稳定过程的首通过三元组（时间、下穿量、上穿量）联合分布的级数表示。
• 基于推导出的级数表示，建立首通过三元组的精确模拟方法。
• 将该表示方法扩展至刻画固定时间点处过程值及其运行最大值的联合分布。
• 推导首通过三元组与首通过前运行最大值的联合分布。
• 为具有单边跳跃的稳定过程提供一种构造性的采样与分布分析框架。

提出的方法

• 利用谱正严格稳定过程的性质，推导首通过三元组联合密度的级数表示。
• 利用级数表示，通过反演或拒绝采样技术，构建首通过三元组的精确采样算法。
• 将级数表示应用于计算固定时间点处过程值及其运行最大值的联合分布。
• 将该框架扩展，以推导首通过三元组与首通过前运行最大值的联合分布。
• 利用自相似性及Lamperti表示，将首通过分布表示为稳定子ordinator和Lévy过程的形式。
• 通过控制级数项的有界性与尾部行为，确保级数表示的收敛性与数值可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为谱正严格稳定过程的首通过三元组联合分布推导出级数表示？
• RQ2 所推导的级数表示是否支持首通过三元组的精确模拟？
• RQ3 在级数表示下，固定时间点处过程值与运行最大值的联合分布为何？
• RQ4 如何刻画首通过三元组与首通过前运行最大值的联合分布？
• RQ5 该级数表示对具有单边跳跃的稳定过程的采样与分布分析有何影响？

主要发现

• 为指数在 (1, 2) 范围内的谱正严格稳定过程的首通过三元组（时间、下穿量、上穿量）的联合密度，建立了一个收敛的级数表示。
• 该级数表示支持通过基于级数项的数值反演或拒绝采样，实现首通过三元组的精确模拟。
• 该表示可推导出任意固定时间点处过程值与运行最大值的联合分布，使该方法的应用范围扩展至通过时间之外的场景。
• 推导出首通过三元组与首通过前运行最大值的联合分布，完整描述了首通过事件发生前的路径行为。
• 该方法适用于无负跳变的稳定过程，利用其自相似性及Lamperti变换，将问题简化为已知的子ordinator性质。
• 所推导的分布具有解析可处理性，支持高效计算，为稳定过程的模拟与推断提供了一种新工具。