[论文解读] Law of Large Numbers and Central Limit Theorem under Nonlinear Expectations

Shigē Péng|ArXiv.org|Feb 13, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 57

一句话总结

本文在次线性期望下建立了大数定律（LLN）与中心极限定理（CLT），引入了正态分布的非线性类比——G-正态分布。通过完全非线性PDE估计，证明了在G-期望下，独立同分布的随机变量依分布收敛于G-正态分布，将经典概率律推广至金融与统计中的模型不确定性建模。

ABSTRACT

The law of large numbers (LLN) and central limit theorem (CLT) are long and widely been known as two fundamental results in probability theory. Recently problems of model uncertainties in statistics, measures of risk and superhedging in finance motivated us to introduce, in [4] and [5] (see also [2], [3] and references herein), a new notion of sublinear expectation, called extquotedblleft% $G$-expectation extquotedblright, and the related extquotedblleft$G$-normal distribution extquotedblright from which we were able to define G-Brownian motion as well as the corresponding stochastic calculus. The notion of G-normal distribution plays the same important rule in the theory of sublinear expectation as that of normal distribution in the classic probability theory. It is then natural and interesting to ask if we have the corresponding LLN and CLT under a sublinear expectation and, in particular, if the corresponding limit distribution of the CLT is a G-normal distribution. This paper gives an affirmative answer. The proof of our CLT is short since we borrow a deep interior estimate of fully nonlinear PDE in [6] which extended a profound result of [1] (see also [7]) to parabolic PDEs. The assumptions of our LLN and CLT can be still improved. But the discovered phenomenon plays the same important rule in the theory of nonlinear expectation as that of the classical LLN and CLT in classic probability theory.

研究动机与目标

• 将经典的弱大数定律与中心极限定理推广至次线性期望框架。
• 研究在次线性期望下的CLT中，极限分布是否为G-正态分布，类似于经典概率中的正态分布。
• 为在模型不确定性下的概率律提供严格的理论基础，尤其适用于风险度量与金融超对冲。
• 将经典概率极限定理推广至可容纳概率分布模糊性的场景，利用G-期望与G-布朗运动。
• 在最小的矩与独立性假设下，证明独立同分布随机变量的归一化和收敛于G-正态分布。

提出的方法

• 通过单调性、次可加性、正齐次性与常数平移不变性，引入G-期望定义的次线性期望。
• 利用$C_{poly}(\mathbb{R})$中的测试函数概念，定义G-期望下的独立同分布随机变量。
• 应用[6]中关于完全非线性抛物型PDE的深层内部估计，证明CLT，利用G-布朗运动与非线性PDE之间的联系。
• 采用时间离散化的动态规划方法，使用满足$\partial_t V + G(\partial_{xx}^2 V) = 0$的测试函数$V(t,x)$，其中$G$为非线性生成元。
• 通过泰勒展开与霍尔德连续性估计，控制PDE离散逼近中的误差项，证明当$n \to \infty$时误差趋于零。
• 建立$\mathbb{E}[\varphi(S_n / \sqrt{n})]$收敛于$\widetilde{\mathbb{E}}[\varphi(\xi)]$，其中$\varphi$为有界且一致连续函数，$\xi$服从G-正态分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在次线性期望下是否成立大数定律，且归一化和是否在$L^2$-范数下收敛于零？
• RQ2 经典中心极限定理能否推广至非线性期望框架，且极限分布是否为G-正态分布？
• RQ3 随机变量需满足何种条件，才能在G-期望下收敛于G-正态分布？
• RQ4 在次线性期望下，CLT的收敛速率如何表现？能否利用PDE技术进行有界估计？
• RQ5 G-正态分布是否为非线性期望框架下的自然极限分布，类似于经典概率中正态分布的角色？

主要发现

• 在次线性期望下，大数定律成立：$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[\left|\frac{S_n}{n}\right|^2\right] = 0$，收敛速率受$\frac{\overline{\sigma}^2}{n}$控制。
• 在G-期望下的中心极限定理表明：对有界且一致连续的$\varphi$，有$\mathbb{E}\left[\varphi\left(\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right)\right] \to \widetilde{\mathbb{E}}\left[\varphi(\xi)\right]$，其中$\xi$服从G-正态分布。
• CLT中的极限分布为G-正态分布，其在非线性期望理论中的基础作用，正如正态分布在经典概率中的角色。
• CLT的收敛速率为$O(n^{-\alpha/2})$，其中$\alpha \in (0,1)$，取决于测试函数的霍尔德正则性与随机变量的矩。
• 证明依赖于基于PDE的方法，利用完全非线性抛物方程的粘性解理论，特别是[6]中关于内部正则性的估计。
• 通过Lipschitz函数逼近，将结果推广至有界且一致连续函数，证实极限在一致收敛下具有稳定性。