[论文解读] Law of Large Numbers and Central Limit Theorems by Jack Generating Functions

Jiaoyang Huang|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 31被引用 4

一句话总结

该论文表明，正整数上N粒子系统的大数定律和中心极限定理由其杰克生成函数在单位处的芽完全决定，方法是利用Nazarov-Sklyanin算子及其作为本征函数的杰克对称函数。关键结果是：渐近行为——如收敛到确定性极限或高斯波动——精确地取决于杰克生成函数对数在单位处的偏导数的收敛性。

ABSTRACT

In a series of papers [22-24] by Bufetov and Gorin, Schur generating functions as the Fourier transforms on the unitary group $U(N)$, are introduced to study the asymptotic behaviors of random $N$-particle systems. We introduce and study the Jack generating functions of random $N$-particle systems. In special cases, this can be viewed as the Fourier transforms on the Gelfand pairs $(GL_N(\mathbb R), O(N))$, $(GL_N(\mathbb C), U(N))$ and $(GL_N(\mathbb H), Sp(N))$. Our main results state that the law of large numbers and the central limit theorems for such particle systems, is equivalent to certain conditions on the germ at unity of their Jack generating functions. Our main tool is the Nazarov-Sklyanin operators [50], which have Jack symmetric functions as their eigenfunctions. As applications, we derive asymptotics of Jack characters, prove law of large numbers and central limit theorems for the Littlewood-Richardson coefficients of zonal polynomials, and show that the fluctuations of the height functions of a general family of nonintersecting random walks are asymptotically equal to those of the pullback of the Gaussian free field on the upper half plane.

研究动机与目标

• 将经典概率中的傅里叶分析方法推广至GL_N(R)、GL_N(C)和GL_N(H)及其相应紧致子群构成的Gelfand对的框架中。
• 提出一种利用杰克生成函数作为随机N粒子系统在Z_{>0}上的广义傅里叶变换的框架。
• 以杰克生成函数在单位附近的渐近行为来刻画大数定律和中心极限定理。
• 统一并推广此前关于舒尔生成函数（如Bufetov和Gorin）的结果，拓展至参数为θ的更广泛的杰克多项式类。
• 将该框架应用于推导杰克特征标、对角多项式的小卢伊特-理查森系数以及非交叉随机游动中高度函数的渐近行为。

提出的方法

• 将杰克生成函数引入为Gelfand对(GL_N(R), O(N))、(GL_N(C), U(N))和(GL_N(H), Sp(N))上的傅里叶变换，推广了舒尔生成函数。
• 利用Nazarov-Sklyanin算子，其本征函数为杰克对称函数，将矩生成函数与杰克生成函数对数的导数联系起来。
• 应用柯西恒等式与斜杰克对称函数，将生成函数表示为幂和对称函数的形式。
• 通过研究log F_N在p = 1^N处的偏导数的收敛性，分析杰克生成函数在单位处的芽。
• 运用涉及分拆和多项式系数的组合恒等式，将粒子系统的矩与生成函数的导数联系起来。
• 建立大数定律与log F_N在单位处一阶导数收敛之间的等价性，以及中心极限定理与二阶导数收敛之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，杰克生成函数使得N粒子系统满足大数定律？
• RQ2 如何通过杰克生成函数在单位附近的渐近行为来刻画粒子系统的中心极限定理？
• RQ3 杰克生成函数在单位处的芽与粒子系统极限分布之间有何关系？
• RQ4 杰克特征标的渐近行为以及对角多项式乘积的小卢伊特-理查森系数如何与生成函数的导数相关联？
• RQ5 能否通过该框架证明非交叉随机游动中高度函数的波动收敛于上半平面上高斯自由场的拉回？

主要发现

• N粒子系统的极限大数定律等价于log F_N在p = 1^N处一阶偏导数的收敛性。
• 对于单层系统，中心极限定理成立当且仅当log F_N在单位处的二阶偏导数收敛到有限极限。
• 对于多层系统，log F_N在单位处混合二阶导数的联合收敛性刻画了粒子系统联合高斯波动的性质。
• 一类广义非交叉随机游动中高度函数的波动收敛于上半平面上高斯自由场的拉回。
• 杰克特征标的渐近行为完全由杰克生成函数在单位处的芽决定，且通过导数分析推导出显式公式。
• 对角多项式乘积的小卢伊特-理查森系数表现出普遍的渐近波动，其规律由生成函数的相同导数条件所控制。