[论文解读] Law of large numbers for a class of random walks in dynamic random environments

Luca Avena, W.Th.F. den Hollander+1 more|TU/e Research Portal|Nov 12, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 3

一句话总结

本文建立了在平衡态下由相互作用粒子系统驱动的一维动态随机环境中最近邻随机游走的淬灭大数定律。在锥形混合条件下，利用时空再生方法，证明了几乎必然的线性速度；在更强的指数混合条件下，推导出全局速度关于局部漂移大小的收敛幂级数展开，其中首项决定了速度的符号。结果可推广至高维情形。

ABSTRACT

In this paper we consider a class of one-dimensional interacting particle systems in equilibrium, constituting a dynamic random environment, together with a nearest-neighbor random walk that on occupied/vacant sites has a local drift to the right/left. We adapt a regeneration-time argument originally developed by Comets and Zeitouni for static random environments to prove that, under a space-time mixing property for the dynamic random environment called cone-mixing, the random walk has an a.s. constant global speed. In addition, we show that if the dynamic random environment is exponentially mixing in space-time and the local drifts are small, then the global speed can be written as a power series in the size of the local drifts. From the first term in this series the sign of the global speed can be read off. The results can be easily extended to higher dimensions.

研究动机与目标

• 建立在动态随机环境中最近邻随机游走的淬灭大数定律。
• 确定动态环境中足够混合条件，以确保全局速度以几乎必然性存在确定常数。
• 在更强的指数混合条件下，推导出全局速度关于局部漂移大小的微扰展开式。
• 从展开式中的首项确定全局速度的符号。
• 将结果推广至高维情形。

提出的方法

• 将Comets和Zeitouni最初为静态环境设计的再生时间方法，推广至具有时空相关性的动态环境。
• 引入锥形混合条件作为时空混合性质，确保在时空锥内过去与未来渐近独立。
• 利用在平均测度下随机游走的淬灭定律，推导出$X_t/t$以几乎必然性收敛于常数$v$。
• 在指数混合条件下应用微扰理论，将全局速度展开为局部漂移参数的幂级数。
• 利用环境过程的生成元与预解算子，计算级数展开的前几项。
• 利用平衡测度与相关函数计算展开式中的系数，特别是独立自旋翻转情形下的$c_3$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种动态随机环境条件下，随机游走具有确定的几乎必然速度？
• RQ2 当环境为指数混合且局部漂移较小时，能否推导出全局速度的微扰展开式？
• RQ3 全局速度的符号是否取决于微扰级数中首阶项的符号？
• RQ4 锥形混合条件与伊辛模型或 voter 模型等已知随机过程有何关联？
• RQ5 能否将结果从一维推广至更高维？

主要发现

• 在锥形混合条件下，随机游走满足淬灭大数定律：$\lim_{t\to\infty} X_t/t = v$ 几乎必然，其中 $v \in \mathbb{R}$。
• 若环境为指数混合且局部漂移足够小，则全局速度在局部漂移大小上具有收敛的幂级数展开。
• 级数中首个非零项决定了全局速度的符号，从而可定性预测运动方向。
• 对于独立自旋翻转动力学，展开式中的系数$c_3$被显式计算为 $c_3 = \frac{4}{U}\rho(2\rho-1)(1-\rho)\left[\frac{2U+V}{U}G_V(0) - \frac{3U+2V}{U}G_{2V}(0) - G_{2V}(1)\right]$。
• 锥形混合环境的实例包括高温下的随机伊辛模型以及多布拉什金区域内的时空吉布斯测度。
• 结果可推广至高维情形，在类似混合条件下保持相同的渐近速度行为。