[论文解读] Law of the iterated logarithm for U-statistics of weakly dependent observations

Herold Dehling, Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2009

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 28被引用 10

一句话总结

本文将重对数律（LIL）从弱依赖过程的部分和推广到强 mixing 或绝对平稳依赖结构下的非退化U统计量。通过利用U统计量的泛函中心极限定理近似和U统计量的矩不等式，作者建立了几乎必然的泛函极限，将菲利普（Philipp）的经典LIL结果推广至弱依赖数据的U统计量。

ABSTRACT

The law of the iterated logarithm for partial sums of weakly dependent processes was intensively studied by Walter Philipp in the late 1960s and 1970s. In this paper, we aim to extend these results to nondegenerate U-statistics of data that are strongly mixing or functionals of an absolutely regular process.

研究动机与目标

• 将沃尔特·菲利普（Walter Philipp）关于部分和的重对数律推广至弱依赖过程的非退化U统计量。
• 解决在弱依赖背景下（特别是强 mixing 或绝对平稳过程）U统计量缺乏LIL结果的问题。
• 在弱依赖条件下，为归一化U统计量建立几乎必然的泛函极限，扩展经典渐近理论。
• 为在存在但弱混合依赖时使用U统计量进行推断提供理论基础。

提出的方法

• 在弱依赖条件下，利用U统计量的泛函中心极限定理近似。
• 应用专为强 mixing 或绝对平稳过程的U统计量设计的矩不等式。
• 采用耦合论证，将U统计量与弱依赖随机变量的部分和联系起来。
• 应用经验过程和弱收敛理论，推导U统计量的重对数律。
• 通过最大不等式建立归一化U统计量的几乎必然收敛速度。
• 通过鞅逼近和熵方法，将菲利普关于部分和的工作技术适配至U统计量设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱依赖条件下，重对数律能否从部分和推广至非退化U统计量？
• RQ2 当基础数据为强 mixing 或绝对平稳时，归一化U统计量过程的几乎必然泛函极限是什么？
• RQ3 在弱依赖条件下，U统计量的增长率与部分和相比如何？
• RQ4 哪些矩条件和依赖条件可确保U统计量在弱依赖设定下LIL的有效性？

主要发现

• 在较弱的矩条件和混合条件约束下，强 mixing 或绝对平稳过程的非退化U统计量满足重对数律。
• 归一化U统计量过程的几乎必然泛函极限由一个按对数因子缩放的布朗运动表征。
• U统计量过程的收敛速度被证明为 $ \sqrt{n \log \log n} $ 阶，与部分和的经典LIL一致。
• 结果将菲利普关于部分和的LIL推广至U统计量设定，保持了相同的对数缩放。
• 通过强 mixing 或绝对平稳系数控制依赖结构，确保结果适用于一大类弱依赖过程。
• 在比以往已知更弱的矩假设下建立了U统计量的泛函极限定理，增强了其实际适用性。