[论文解读] Laws and Likelihoods for Ornstein Uhlenbeck-Gamma and other BNS OU Stochastic Volatilty models with extensions

Lancelot F. James|ArXiv.org|Apr 5, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文通过完美耦合与拉普拉斯变换技术，将无限维的BNS型Ornstein-Uhlenbeck随机波动率模型（特别是OU-Γ过程）简化为有限维模型，发展了可处理的似然推断方法。关键贡献在于利用伽马分布与狄利克雷过程的性质，提出了一种针对OU-Γ模型联合分布的新型精确抽样方法，从而实现了该类模型中高效马尔可夫链蒙特卡洛似然分析与期权定价。该方法可推广至更广泛的费勒广义伽马卷积（FGGC）模型类别。

ABSTRACT

In recent years there have been many proposals as flexible alternatives to Gaussian based continuous time stochastic volatility models. A great deal of these models employ positive Lévy processes. Among these are the attractive non-Gaussian positive Ornstein-Uhlenbeck (OU) processes proposed by Barndorff-Nielsen and Shephard (BNS) in a series of papers. One current problem of these approaches is the unavailability of a tractable likelihood based statistical analysis for the returns of financial assets. This paper, while focusing on the BNS models, develops general theory for the implementation of statistical inference for a host of models. Specifically we show how to reduce the infinite-dimensional process based models to finite, albeit high, dimensional ones. Inference can then be based on Monte Carlo methods. As highlights, specific to BNS we show that an OU process driven by an infinite activity Gamma process, that is an OU-$Γ$, exhibits unique features which allows one to exactly sample from relevant joint distributions. We show that this is a consequence of the OU structure and the unique calculus of Gamma and Dirichlet processes. Owing to another connection between Gamma/Dirichlet processes and the theory of Generalized Gamma Convolutions (GGC) we identify a large class of models, we call (FGGC), where one can perfectly sample marginal distributions relevant to option pricing and Monte Carlo likelihood analysis. This involves a curious result, we establish as Theorem 6.1. We also discuss analytic techniques and candidate densities for Monte-Carlo procedures which apply more generally.

研究动机与目标

• 解决巴尔德-尼尔森与谢泼德（BNS）提出的非高斯连续时间随机波动率模型中缺乏可处理似然方法的问题。
• 通过将高维、无限维过程模型降维为有限维近似，实现对金融收益模型的统计推断。
• 基于OU-Γ过程的独特微分结构及其与狄利克雷过程的联系，建立该过程的精确抽样程序。
• 将上述方法推广至一个更广泛的模型类，即费勒广义伽马卷积（FGGC）模型，使得完美耦合与似然计算成为可能。
• 为一般OU型随机波动率模型提供实用的蒙特卡洛抽样技术，用于期权定价与似然估计。

提出的方法

• 利用由Lévy子扩散过程驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的结构，降低似然计算的维度。
• 应用Weber-Sonine公式与拉普拉斯变换恒等式，推导OU-Γ模型中积分方差的精确分布。
• 通过狄利克雷过程的联系，利用完美耦合技术精确模拟波动率与积分方差的联合分布。
• 基于辅助变量与扩展密度，开发一种蒙特卡洛方法，特别采用$Q_1$与$Q_2$抽样方案。
• 利用费勒广义伽马卷积（FGGC）框架，识别出一类可实现精确抽样与似然计算的广泛模型类。
• 应用傅里叶余弦积分表示法，近似一般OU模型中的似然函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管具有无限维性质，是否仍可对BNS OU-Γ随机波动率模型实现精确似然推断？
• RQ2 伽马分布与狄利克雷过程的哪些数学性质使得OU-Γ模型中可实现精确抽样？
• RQ3 如何利用费勒广义伽马卷积（FGGC）框架，将精确抽样方法扩展至更广泛的随机波动率模型类别？
• RQ4 在一般OU型随机波动率模型中，用于基于似然推断的实用蒙特卡洛抽样策略有哪些？
• RQ5 拉普拉斯变换方法是否可作为OU-稳定或OU-对数正态等模型中已知密度的计算可行替代方案？

主要发现

• 由于伽马与狄利克雷过程的特殊微分结构，OU-Γ过程可实现联合分布的精确完美抽样，从而支持可处理的似然推断。
• 定理6.1建立了OU-FGGC模型中完美抽样的充分条件，尤其当混合测度$H$为反正弦分布时成立。
• 对于OU-Γ模型，可通过扩展变量法与贝塔分布，精确抽样积分方差与波动率的联合分布。
• 通过$Q_2$实现的拉普拉斯变换方法，为复杂密度计算提供了数值稳定且高效的替代方案，尤其适用于OU-稳定等密度不可求解的模型。
• 在OU-对数正态模型中，尽管Lévy密度未知，该方法仍可通过数值计算Lévy指数实现似然近似。
• FGGC框架识别出一类广泛模型，其期权定价密度与蒙特卡洛似然均可通过广义伽马卷积理论实现完美抽样。