[论文解读] Lawson homology, morphic cohomology and Chow motives

Wenchuan Hu, Li Li|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文在 Chow 动机上建立了 Lawson 上同调与形态上同调，包括有限商射影簇的有理系数，并将该框架应用于推导光滑复射影曲面的点 Hilbert 模间量的公式。一个关键贡献是通过有限映射和通用曲线的雅可比簇结果，构造了自乘曲线的非平凡 Griffiths 上同调群的例子。

ABSTRACT

In this paper, the Lawson homology and morphic cohomology are defined on the Chow motives. We also define the rational coefficient Lawson homology and morphic cohomology of the Chow motives of finite quotient projective varieties. As a consequence, we obtain a formula for the Hilbert scheme of points on a smooth complex projective surface. Further discussion concerning generic finite maps is given. As a result, we give examples of self-product of smooth projective curves with nontrivial Griffiths groups by using a result of Ceresa.

研究动机与目标

• 在有限商射影簇的动机范畴上定义 Lawson 上同调与形态上同调，将这些理论扩展至动机范畴。
• 建立动机与形态上同调之间的函子性框架，使动机理论的结果可转移至周期理论不变量。
• 将该理论应用于计算曲面上 Hilbert 模间量的 Lawson 上同调，并研究自乘曲线的 Griffiths 上同调群。
• 通过有理系数 Lawson 上同调与有限映射，探索双有理不变量与有理曲面三倍体。
• 通过有限映射与雅可比簇构造，提供具有非平凡 Griffiths 上同调群的新例子。

提出的方法

• 使用带有 Chow 拓扑的循环空间的同伦群，在 Chow 动机上定义 Lawson 上同调与形态上同调。
• 在 Chow 动机范畴中使用对应关系，通过上推与投影算子定义 Lawson 上同调与形态上同调上的态射作用。
• 证明光滑仿射代数簇的有理系数 Lawson 上同调与有限群作用下其商的 Lawson 上同调之间存在同构，同构由 G-不变子空间给出。
• 利用 Friedlander、Gabber 与 Hu 的已知结果，将该理论应用于射影丛、爆破与胞腔可分解的代数簇。
• 利用 Karpenko 关于动机的定理，对商代数簇分解 Lawson 上同调与形态上同调。
• 利用有限映射与双有理映射比较同调不变量，并推导有理同调维数的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Lawson 上同调与形态上同调扩展至 Chow 动机范畴？
• RQ2 代数簇与其有限商的有理系数 Lawson 上同调之间有何关系？
• RQ3 能否通过动机方法，利用 Lawson 上同调描述光滑射影曲面上点的 Hilbert 模间量？
• RQ4 在何种条件下，有限映射会诱导有理 Lawson 上同调与 Griffiths 上同调群的满射或单射？
• RQ5 对于亏格 ≥3 的通用曲线，其 g 重自乘是否具有非平凡的 Griffiths 上同调群？如何通过雅可比簇与有限覆盖来证明？

主要发现

• Lawson 上同调与形态上同调是 Chow 动机范畴上的良好定义的函子，其态射作用由对应关系诱导。
• 对于光滑仿射代数簇 $X$ 上的有限群作用 $G$，其商为 $X'$，存在自然同构 $\pi_*:(L_pH_k(X,\mathbb{Q}))^G \cong L_pH_k(X',\mathbb{Q})$。
• 光滑复射影曲面上 $n$ 个点的 Hilbert 模间量的 Lawson 上同调公式，可通过动机框架与爆破公式导出。
• 对于有理曲面三倍体，有理 Lawson 上同调在除有限多个度数外与奇异上同调一致，且在临界度数中存在单射。
• 对于亏格 $g \geq 3$ 的通用曲线 $C$，其 $g$ 重自乘 $X = C^g$ 在 $1 \leq p \leq g-2$ 时具有非平凡的有理 Griffiths 上同调群 $\mathrm{Griff}_p(X) \otimes \mathbb{Q}$。
• 自然有限映射 $\pi: C^g \to C^{(g)}$（对称积）与双有理映射 $C^{(g)} \to J(C)$ 暗示 $\dim_{\mathbb{Q}} \mathrm{Griff}_p(C^g) \otimes \mathbb{Q} \geq \dim_{\mathbb{Q}} \mathrm{Griff}_p(J(C)) \otimes \mathbb{Q} > 0$ 对于 $1 \leq p \leq g-2$ 成立。