[论文解读] Lax comma $2$-categories and admissible $2$-functors

Maria Manuel Clementino, Fernando Lucatelli Nunes|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文通过引入松弛叉二元2-范畴与2-可接受2-函子，将Janelidze的范畴伽罗瓦理论推广至2-范畴框架。研究证明，通过基变换2-函子，2-伴随关系可提升至松弛叉二元2-范畴之间的2-伴随关系，并识别出此类提升产生松弛幂等2-单子的充分条件——即2-可接受2-函子正是那些能诱导此类结构的函子。

ABSTRACT

This paper is a contribution towards a two dimensional extension of the basic ideas and results of Janelidze-Galois theory. In the present paper, we give a suitable counterpart notion to that of extit{absolute admissible Galois structure} for the lax idempotent context, compatible with the context of extit{lax orthogonal factorization systems}. As part of this work, we study lax comma $2$-categories, giving analogue results to the basic properties of the usual comma categories. We show that each morphism of a $2$-category induces a $2$-adjunction between lax comma $2$-categories and comma $2$-categories, playing the role of the usual extit{change of base functors}. With these induced $2$-adjunctions, we are able to show that each $2$-adjunction induces $2$-adjunctions between lax comma $2$-categories and comma $2$-categories, which are our analogues of the usual lifting to the comma categories used in Janelidze-Galois theory. We give sufficient conditions under which these liftings are $2$-premonadic and induce a lax idempotent $2$-monad, which corresponds to our notion of $2$-admissible $2$-functor. In order to carry out this work, we analyse when a composition of $2$-adjunctions is a lax idempotent $2$-monad, and when it is $2$-premonadic. We give then examples of our $2$-admissible $2$-functors (and, in particular, simple $2$-functors), specially using a result that says that all admissible ($2$-)functors in the classical sense are also $2$-admissible (and hence simple as well). We finish the paper relating coequalizers in lax comma $2$-categories and Kan extensions.

研究动机与目标

• 通过识别Janelidze理论中绝对可接受伽罗瓦结构的二维类比，将Janelidze的范畴伽罗瓦理论扩展至2-范畴设定。
• 发展松弛叉二元2-范畴的理论，作为经典叉范畴在二维的对应物。
• 定义并表征2-可接受2-函子，即那些使2-伴随关系在松弛叉二元2-范畴上提升后产生松弛幂等2-单子的函子。
• 建立2-伴随关系复合后产生松弛幂等2-单子且为2-预单子的条件，将其与Kock-Zöberlein单子理论相联系。
• 提供2-可接受2-函子的实例，包括有限族2-范畴中的典范包含函子，表明经典可接受函子在新框架下亦为2-可接受。

提出的方法

• 引入松弛叉二元2-范畴作为叉范畴的二维推广，其普遍性质与一维范畴中叉对象的性质类似。
• 为2-范畴中的每个态射构造从叉二元2-范畴到松弛叉二元2-范畴的2-伴随关系，作为基变换函子的二维类比。
• 利用这些2-伴随关系，通过复合将2-伴随关系提升至松弛叉二元2-范畴，形成两步提升过程。
• 分析2-伴随关系复合后产生松弛幂等2-单子的条件，利用2-预单子性与普遍提升的性质。
• 将理论应用于2-函子 $ I_{\text{A}}: \text{A} \to \text{Fam}_{\text{fin}}(\text{A}) $，证明当 $ \text{A} $ 为左扩张2-范畴时，其为2-可接受。
• 采用左扩张2-范畴的概念——即具有有限极限与余积，且其切片范畴的积与余积上的切片之间存在自然同构——以证明关键同构与全忠实性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Janelidze理论中，绝对可接受伽罗瓦结构的恰当二维类比是什么？
• RQ2 如何将经典基变换函子推广至2-范畴设定，以支持2-伴随关系的提升？
• RQ3 在何种条件下，将2-伴随关系提升至松弛叉二元2-范畴会生成松弛幂等2-单子？
• RQ4 哪些2-函子是2-可接受的，即通过此类提升能诱导出松弛幂等2-单子的函子？
• RQ5 经典可接受2-函子在新框架下在多大程度上仍保持2-可接受性？

主要发现

• 本文为2-范畴中每个态射构造了从叉二元2-范畴到松弛叉二元2-范畴的2-伴随关系，推广了一维范畴中基变换构造。
• 研究证明，通过与基变换2-函子复合，将2-伴随关系提升至松弛叉二元2-范畴后，可得到对应松弛叉二元2-范畴之间的2-伴随关系。
• 此类提升产生松弛幂等2-单子的充分条件是2-伴随关系的复合为2-预单子且诱导出松弛幂等结构。
• 当 $ \text{A} $ 为左扩张2-范畴时，典范包含函子 $ I_{\text{A}}: \text{A} \to \text{Fam}_{\text{fin}}(\text{A}) $ 被证明为2-可接受。
• 通过2-自然同构 (7.0.3) 证明了诱导变换 $ \rho_Y^* \theta $ 在 $ I_{\text{A}} $ 上是全忠实的，从而确认其2-可接受性。
• 所有经典可接受2-函子均被证明在新意义下为2-可接受，建立了经典伽罗瓦理论与2-范畴伽罗瓦理论之间的桥梁。