[论文解读] Lax formal theory of monads, monoidal approach to bicategorical structures and generalized operads

Dimitri Chikhladze|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文在三范畴中发展了单子的宽松形式理论，通过引入 T-装备和 ∗-装备，利用 Kleisli 构造推广了广义多范畴（T-幺半群）。它建立了 2-函子性 Kleisli 构造及其扩展 ∗Kl，实现了 T-幺半群范畴之间的函子性比较，并构造了自由 T-代数与底层 T-幺半群函子，其应用涵盖对称多范畴和函子性三范畴。

ABSTRACT

Generalized operads, also called generalized multicategories and $T$-monoids, are defined as monads within a Kleisli bicategory. With or without emphasizing their monoidal nature, generalized operads have been considered by numerous authors in different contexts, with examples including symmetric multicategories, topological spaces, globular operads and Lawvere theories. In this paper we study functoriality of the Kleisli construction, and correspondingly that of generalized operads. Motivated by this problem we develop a lax version of the formal theory of monads, and study its connection to bicategorical structures.

研究动机与目标

• 在双范畴中发展单子的形式理论的基础上，将其推广至三范畴内部的宽松设定。
• 将 Kleisli 构造形式化为 2-函子 Kl 及其在 T-∗-装备上的扩展 ∗Kl，以实现对 T-幺半群范畴的函子性比较。
• 通过伪函子和三范畴的范畴方法，建立双范畴结构的张量方法，将宽松单子与虚拟双范畴联系起来。
• 在此框架中构造自由 T-代数与底层 T-幺半群函子，作为自由张量范畴与底层多范畴函子的经典构造的类比。
• 证明装备是伪函子三范畴中的宽松单子，为宽松单子理论与广义多范畴之间建立桥梁。

提出的方法

• 引入 T-装备作为双范畴类结构 A 的形式化，其中配备有单子 T，以推广 T-幺半群的上下文。
• 定义 ∗-装备和 T-∗-装备，以建模示例中出现的附加结构，例如 2-细胞的右伴随。
• 在 T-∗-装备上构造 Kleisli 2-函子 Kl 及其扩展 ∗Kl，实现对 T-幺半群范畴的 2-函子性比较。
• 利用伪函子的三范畴 Mod 表示双范畴类结构中的水平复合，通过类似单子的结构实现。
• 应用宽松分配律与复合构造 Comp，关联宽松单子及其代数。
• 通过三范畴中的单子理论构造重新解释虚拟双范畴，表明 Mod(A) 可被视为三范畴模构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将单子的形式理论推广至三范畴内部的宽松设定？
• RQ2 需要何种结构（如 ∗-装备）才能使 Kleisli 构造成为 2-函子并可扩展至 ∗Kl？
• RQ3 在伪函子三范畴中的宽松单子如何与广义多范畴及虚拟双范畴关联？
• RQ4 在此框架中能否构造自由 T-代数与底层 T-幺半群函子？它们与张量范畴中的经典构造有何关系？
• RQ5 是否存在一个普遍的三范畴描述，用于构造 Mod(A)，从而从已有装备生成新装备？

主要发现

• Kleisli 构造 Kl 是 T-装备上的 2-函子，其扩展 ∗Kl 是 T-∗-装备上的 2-函子，实现了对 T-幺半群范畴的 2-函子性比较。
• ∗Kl 构造与通过 opaction 的右伴随定义的函子 Comp⊥∗ 一致，验证了其在宽松形式理论中的作用。
• 三范畴 Mod 的伪函子通过单子理论方法构造，其中双范畴被视为伪单子，双函子被视为双伪模。
• 证明装备是 2-Prof 三范畴中的宽松单子，建立了宽松单子理论与双范畴结构之间的桥梁。
• 构造 Mod(A) 可从已有装备生成新装备；当应用于 Mat(V) 时，可恢复 Prof(V)，表明 (T0, Prof(Set)) 中的 T-幺半群产生增强的对称多范畴。
• 本文提供了一个框架，可将虚拟双范畴重新解释为三范畴中的宽松单子，暗示广义多范畴与三范畴结构之间存在更深层次的联系。