[论文解读] Layered Separators in Minor-Closed Families with Applications

Vida Dujmović, Pat Morin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 70被引用 16

一句话总结

本文引入了分层分离器——在最小封闭家族（包括有界欧拉亏格图）中，尽管大小可能线性于 n，但其宽度有界的一类图分离器。通过利用这些分离器，作者在队列数和非重复着色数上实现了 O(log n) 的界，优于长期存在的 O(√n) 界，并将该结果推广至所有适当的最小封闭家族，实现 O(log^O(1) n) 的复杂度，从而在 3D 网格绘图中实现 n log^O(1) n 的体积优化。

ABSTRACT

Graph separators are a ubiquitous tool in graph theory and computer science. However, in some applications, their usefulness is limited by the fact that the separator can be as large as Ω ( √ n) in graphs with n vertices. This is the case for planar graphs, and more generally, for proper minor-closed families. We study a special type of graph separator, called a layered separator, which possibly has linear size in n, but has constant size with respect to a different measure, called the breadth. We prove that a wide class of graphs admit layered separators of bounded breadth, including graphs of bounded Euler genus. We use these results to prove O(log n) bounds for a number of problems where O ( √ n) was a long standing previous best bound. This includes queue-number and nonrepetitive chromatic number of bounded Euler genus graphs. We extend these results, with a log O(1) n bound, to all proper minor-closed families. This result also implies that every graph from a proper minor-closed class has a 3-dimensional grid drawing in n log O(1) n volume, where the previous best bound was O(n 3/2). Only for planar graphs was a log O(1) n bound on the queue-number previously known.

研究动机与目标

• 为克服标准分离器在最小封闭家族（如平面图）中可能达到 Ω(√n) 大小的局限性。
• 提出一种新型分离器——分层分离器，其在新度量‘宽度’上保持有界，即使在 n 上线性时亦然。
• 在有界欧拉亏格图中建立队列数和非重复着色数等关键图参数的 O(log n) 界。
• 通过分层分离器将这些结果推广至所有适当的最小封闭家族。
• 将分层分离器应用于 3D 网格绘图，将体积界从 O(n^{3/2}) 改进为 n log^{O(1)} n。

提出的方法

• 将分层分离器定义为具有有界宽度的分离器，其中宽度衡量分层图分解中的层数。
• 证明有界欧拉亏格图可拥有有界宽度的分层分离器。
• 通过分治与动态着色技术，利用分层分离器控制队列数与非重复着色数。
• 通过结构图论与排除极小图分解，将该框架扩展至所有适当的最小封闭家族。
• 通过使用分层分离器嵌入图来最小化体积，将分离器框架应用于 3D 网格绘图。
• 利用已知的最小封闭家族结果，证明 log^O(1) n 体积界在所有此类类别中普遍成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在最小封闭家族（尤其是有界欧拉亏格图）中构造出具有有界宽度的分层分离器？
• RQ2 分层分离器对改进队列数与非重复着色数的界有何影响？
• RQ3 能否将队列数的 O(log n) 界从平面图推广至所有适当的最小封闭家族？
• RQ4 在使用分层分离器时，最小封闭家族中图的 3D 网格绘图所需最小体积是多少？
• RQ5 分层分离器的宽度如何影响图参数的渐近复杂度？

主要发现

• 有界欧拉亏格图可拥有有界宽度的分层分离器，从而实现对关键图参数的改进界。
• 有界欧拉亏格图的队列数与非重复着色数均被限制在 O(log n) 内，优于先前的 O(√n) 界。
• 这些 O(log n) 界可推广至所有适当的最小封闭家族，使相同参数的复杂度达到 O(log^O(1) n)。
• 所有属于适当最小封闭家族的图均可实现体积为 n log^{O(1)} n 的 3D 网格绘图，优于先前的 O(n^{3/2}) 界。
• 该结果证实，平面图并非唯一能实现 log^O(1) n 体积 3D 网格绘图的图类——该性质可推广至所有最小封闭家族。
• 分层分离器为在最小封闭家族中统一实现多个图问题的改进渐近界提供了框架。