[论文解读] Layers and Matroids for the Traveling Salesman's Paths

Frans Schalekamp, András Sebő+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的强多项式时间组合算法，将任意可行解分解为广义Gao-树的凸组合——即满足每个割在嵌套集合链中恰好通过一条边的生成树。该方法利用一系列日益受限的拟阵的分层凸组合，提供了新的多面体洞见，并实现了极端点解的高效分解，所需生成树数量为O(|V|)。

ABSTRACT

Gottschalk and Vygen proved that every solution of the subtour elimination linear program for traveling salesman paths is a convex combination of more and more restrictive "generalized Gao-trees". We give a short proof of this fact, as a layered convex combination of bases of a sequence of increasingly restrictive matroids. A strongly polynomial, combinatorial algorithm follows for finding this convex combination, which is a new tool offering polyhedral insight, already instrumental in recent results for the $s-t$ path TSP.

研究动机与目标

• 为Gottschalk与Vygen关于s-t路径TSP解的广义Gao-树凸组合结果提供一种新的、简短的证明。
• 通过拟阵基的分层凸组合，建立s-t路径TSP与拟阵理论之间的联系。
• 开发一种强多项式时间、组合式的算法，用于计算此类凸组合。
• 提供一种构造性方法，对极端点解可得到包含O(|V|)棵生成树的分解。
• 提供一种工具，支持s-t路径TSP整数规划间隙的最新进展，并可能推广至其他TSP变种。

提出的方法

• 引入链点（chain-points）的概念——即满足嵌套顶点集序列上度约束与割约束的s-t路径TSP线性规划可行解。
• 基于层级集上的环拟阵和链中各割上的Gao-边上的均匀拟阵，定义一系列日益受限的拟阵。
• 通过逐层剥离一个拟阵基的方式构建分层凸组合，确保每一步均保持可行性。
• 以修改形式应用拟阵划分定理，以保证对任意链点，此类分解的存在性。
• 使用Edmonds的拟阵划分算法或[7]中生成树分解算法的修改版本，在强多项式时间内计算该分解。
• 确保每一步所选的生成树均为当前链的Gao-树，其存在性由解的结构特性保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过更简单的拟阵方法证明s-t路径TSP解的广义Gao-树凸组合？
• RQ2 是否存在一种强多项式时间、组合式的算法来计算此类凸组合？
• RQ3 链点的结构如何与分层分解中拟阵基相关联？
• RQ4 对于极端点解，此类分解中最多需要多少棵生成树？
• RQ5 该方法是否可被调整以改进整数规划间隙的界，或推广至其他TSP变种？

主要发现

• s-t路径TSP子环消除线性规划的任意可行解均可表示为广义Gao-树的凸组合。
• 该分解可通过基于拟阵划分的组合算法在强多项式时间内计算。
• 分解中生成树的数量至多与解的支撑大小呈线性关系，即极端点解中为O(|V|)。
• 该方法通过分层凸组合将s-t路径TSP与拟阵理论联系起来，提供了新的多面体洞见。
• 此类分解的存在性由依赖于拟阵划分定理与秩预言机性质的构造性证明保证。
• 该算法确保分解中的每棵生成树均为当前链的Gao-树，从而保持了解的结构约束。