[论文解读] LCD Cyclic Codes over Finite Fields

Chengju Li, Cunsheng Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文在有限域上构造了多个 LCD（线性互补对偶）循环码族，重点关注长度为 $ n = q^m - 1 $、$ n = q^m + 1 $ 和 $ n = (q^m - 1)/(q - 1) $ 的可逆循环码（等价于 LCD 码）。通过 BCH 界推导出最小距离的下界，并精确确定了码的维数，其中许多码达到了最优参数。

ABSTRACT

In addition to their applications in data storage, communications systems, and consumer electronics, LCD codes -- a class of linear codes -- have been employed in cryptography recently. LCD cyclic codes were referred to as reversible cyclic codes in the literature. The objective of this paper is to construct several families of reversible cyclic codes over finite fields and analyse their parameters. The LCD cyclic codes presented in this paper have very good parameters in general, and contain many optimal codes. A well rounded treatment of reversible cyclic codes is also given in this paper.

研究动机与目标

• 系统地构造有限域上的 LCD 循环码族（等价于可逆循环码）。
• 分析这些码在特定长度下的参数，特别是维数和最小距离。
• 证明所构造的许多码在给定长度和维数下，其最小距离达到最优或近似最优。
• 对可逆循环码进行全面处理，包括结构和代数特征刻画。
• 推测所推导的最小距离下界是紧的，并提出未来有待解决的开放问题。

提出的方法

• 使用模 $ n $ 的 $ q $-循环特征集对 $ x^n - 1 $ 在 $ \mathrm{GF}(q) $ 上进行因式分解，从而通过商环 $ \mathrm{GF}(q)[x]/(x^n - 1) $ 中的理想构造循环码。
• 应用 BCH 界推导所构造码的最小距离下界，尤其针对 $ n = (q^m - 1)/(q - 1) $ 和 $ n = q^m - 1 $ 的情形。
• 利用互反多项式与最大公因数（GCD）技术分析可逆码的生成多项式，特别是针对 $ \mathcal{C}_{(q,n,2\delta,1-\delta)} $。
• 引入参数 $ \epsilon $ 和 $ \bar{\epsilon} $ 以计算生成多项式与其互反多项式 GCD 的次数，这对维数计算至关重要。
• 利用亏格维数与对偶性理论确保 $ \mathcal{C} \cap \mathcal{C}^\perp = \{0\} $，从而确认 LCD 性质。
• 应用 Bose 界及 $ \mathrm{GF}(q) $ 上最小多项式的性质，以改进最小距离估计，尤其在 $ \delta = q^{m/2} $ 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathrm{GF}(q) $ 上，长度为 $ n = (q^m - 1)/(q - 1) $ 的可逆循环码的确切维数是多少？其与 $ q $、$ m $ 和 $ \delta $ 的关系如何？
• RQ2 在什么条件下，有限域 $ \mathrm{GF}(q) $ 上的 BCH 码既是可逆的又是 LCD 的？其最小距离和维数分别是什么？
• RQ3 能否改进或证明这些码的最小距离下界是紧的，特别是在 $ \delta = q^{m/2} $ 时？
• RQ4 所构造码的参数与 Grassl 数据库中已知的最佳线性码相比如何？
• RQ5 哪些 $ q $-循环特征集及其陪集首项的结构性质决定了所生成 LCD 循环码的维数和最小距离？

主要发现

• 当 $ m \geq 4 $ 为偶数且 $ \delta = q^{m/2} $ 时，码 $ \mathcal{C}_{(q,n,\delta,1)} $ 的维数为 $ k = n - q^{(m-2)/2}(q-1)m + (q-2)\frac{m}{2} $，且最小距离 $ d \geq \delta + 1 $。
• 当 $ m \geq 4 $ 为偶数且 $ 2 \leq \delta \leq q^{m/2} $ 时，可逆 BCH 码 $ \mathcal{C}_{(q,n,2\delta,1-\delta)} $ 的长度为 $ n = (q^m - 1)/(q - 1) $，其维数取决于 $ \epsilon $ 和 $ \bar{\epsilon} $，且最小距离 $ d \geq 2\delta $。
• 当 $ \delta = q^{m/2} $ 时，码 $ \mathcal{C}_{(q,n,2\delta,1-\delta)} $ 的最小距离满足 $ d \geq 2\delta + 2 $，优于 BCH 界。
• 码 $ \mathcal{C}_{(q,n,2\delta,1-\delta)} $ 的维数通过其生成多项式与其互反多项式 GCD 的次数计算，且给出了依赖于 $ \epsilon $ 和 $ \bar{\epsilon} $ 的显式公式。
• 示例码包括 $[40, 3, 20]$（对应 $ (q,m,\delta) = (3,4,9) $）和 $[85, 8, 34]$（对应 $ (4,4,16) $），均具有优良参数。
• 本文推测所推导的最小距离下界是紧的，并提出了关于证明这些码族精确最小距离的开放问题。