[论文解读] Le groupe de Selmer des isog\'enies de hauteur un

Damian Rössler|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文证明了在正特征的完美域上，光滑拟射影代数簇的函数域上，两个阿贝尔簇之间高度为一的同源映射的塞尔群，可自然地嵌入到基底簇上两个自然向量丛之间同态空间中。关键结果表明，该嵌入位于全局对数微分形式截面的自然限制映射的像之内，从而以沿法向交截痕除子具有对数奇点的向量丛同态形式，实现了塞尔群的几何实现。

ABSTRACT

On montre que le groupe de Selmer d'une isog\'enie de hauteur un entre deux vari\'et\'es ab\'eliennes d\'efinies sur le corps de fonctions d'une vari\'et\'e quasi-projective et lisse $V$ sur un corps parfait $k_0$ de caract\'eristique $p>0$ peut \^etre plong\'e dans le groupe des homomorphismes entre deux fibr\'es vectoriels naturels sur $V$. / We show that the Selmer group of an isogeny of height one between two abelian varieties defined on the function field of a smooth and quasi-projective variety $V$ over a perfect field $k_0$ of characteristic $p>0$ can be embedded in the group of homomorphisms between two natural vector bundles on $V$.

研究动机与目标

• 为正特征函数域上两个阿贝尔簇之间高度为一的同源映射的塞尔群提供几何实现。
• 证明该塞尔群可单射嵌入到基底簇 V 上两个自然向量丛之间同态空间中。
• 确立塞尔群在阿廷-米尔内映射下的像位于全局对数微分形式截面的自然限制映射的像之内。
• 将罗塞尔（2015）的结果从相对弗罗贝尼乌斯的情形推广到任意高度为一的同源映射。
• 证明塞尔群嵌入到涉及核的李代数对偶与沿法向交截痕除子具有极点的对数微分形式的同态空间中。

提出的方法

• 利用阿廷-米尔内的典范单射同态 ΦΓK: H¹(K, ΓK) → HomK(F∗K(ωΓK), ΩK[1]/k₀)，将伽罗瓦上同调类映射为微分形式的同态。
• 构造从基底簇上整体截面到一般纤维的自然限制映射 ρ: HomV(F∗V(ωΓ), ΩV[1]/k₀(log E)) → Hom(F∗K(ωΓK), ΩK[1]/k₀)。
• 应用 ΦΓK 与基变换之间的相容性结果，表明塞尔群在 ΦΓK 下的像位于 ρ 的像之内。
• 通过高度为一的同源映射的复合性，将问题约化到相对弗罗贝尼乌斯同源映射的情形。
• 利用在余维数为一的点处的局部环与完备化进行提升论证，依赖于基底簇的正规性与 étale 局部结构。
• 应用如下事实：在正规概型上，凝聚层之间的态射由其在余维数为一的点处的行为决定，并利用正规概型上扩张的唯一性，将局部数据整体化。

实验结果

研究问题

• RQ1 正特征函数域上两个阿贝尔簇之间高度为一的同源映射的塞尔群，是否可嵌入到基底簇上向量丛同态空间中？
• RQ2 阿廷-米尔内映射在塞尔群上的像是否位于全局对数微分形式截面的自然限制映射的像之内？
• RQ3 是否能通过与核相关的向量丛及对数微分形式之间的同态，几何地实现塞尔群？
• RQ4 奇点集 E（法向交截痕除子）的结构如何影响塞尔群的嵌入？
• RQ5 在这样的几何实现中，假设 A[m](K) ≃ (Z/mZ)²ᵍ 的条件在多大程度上可被削弱或移除？

主要发现

• 塞尔群 Sel(K, ιK) 可自然单射嵌入到核的李代数对偶的拉回与基底簇 V 上对数微分形式层之间同态空间中。
• 阿廷-米尔内映射 ΦιK 在塞尔群上的像位于 ΩV[1]/k₀(log E) 截面的限制映射 ρ 的像之内。
• 当 dim V = 1（即曲线情形）时，该嵌入位于 HomV(F∗V(ωΓ), ΩV[1]/k₀(E)) 中，其中 E 为坏约化除子。
• 该嵌入与高度为一的同源映射的复合相容，从而可约化到相对弗罗贝尼乌斯的情形。
• 证明依赖于正规概型上态射扩张的唯一性，以及由于所涉层中无挠，余维数为一的局部数据可整体提升。
• 在基底簇 V 为正特征完美域上光滑拟射影概形，且坏约化奇点集 E 为法向交截痕除子的假设下，结论成立。