[论文解读] Le système d'Euler de Kato en famille (I)

Shanwen Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文构建了在 $p$-进权空间 $ω$ 上的 Kato 欧拉系统族与显式互惠律，插值经典对象。通过 $p$-进模形式与测度族，建立了 Kato 指数映射的 $p$-进插值，利用 $p$-进模形式与 Eisenstein 测度，证明了家族版本的显式互惠律。

ABSTRACT

This article is the first article of a serie of articles on the generalization of Kato's Euler system. The main subject of this article is to construct a family of Kato's Euler systems and a family of Kato's explicit reciprocity laws over the weight space, which interpolate the corresponding classical objects.

研究动机与目标

• 将 Kato 的欧拉系统推广至权空间 $\mathscr{W}$ 上的 $p$-进族，将经典构造扩展至 $p$-进解析设定。
• 在 $\mathscr{W}$ 上构造一族显式互惠律，插值临界 $p$-进 $L$-值的经典 Kato 互惠律。
• 通过一族 $p$-进模形式与测度，建立 Kato 指数映射的 $p$-进插值。
• 定义并研究 $p$-进族的 Eisenstein-Kronecker 测度，将其与家族中的显式互惠律联系起来。
• 为系列的第二部分提供基础框架，后者将处理 $p$-进 $L$-函数与 Iwasawa 理论的家族形式。

提出的方法

• 利用通用 $p$-进特征与紧致解析几何，在权空间 $\mathscr{W}$ 上构造一族 Banach 表示。
• 通过经典 Eisenstein 系列的 $p$-进插值，引入一族 $p$-进 Eisenstein-Kronecker 测度 $z_{\mathbf{Eis},c,d}(\kappa^{\mathbf{univ}},j)$。
• 通过 $p$-进 zeta 函数与通用特征 $\kappa^{\mathbf{univ}}$ 定义 $p$-进 $L$-函数，将其与测度 $z_{\mathbf{Eis},c,d}$ 联系起来。
• 对欧拉系统族应用对偶指数映射 $\exp^*_{\mathbf{Kato},\nu}$，利用表示 $\mathbf{D}_{1,j,\mathscr{W}}$ 的结构。
• 利用欧拉系统族在伽罗瓦群上构造一个 2-上循环，并通过李代数上同调推导出互惠律。
• 使用 Amice 变换与 $p$-进积分，比较 $p$-进 $L$-值与互惠律中的项，特别是模形式的常数项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Kato 的欧拉系统扩展为权空间 $\mathscr{W}$ 上的 $p$-进族，使其在经典点处插值经典系统？
• RQ2 能否构造一族 $p$-进显式互惠律，使其插值临界 $p$-进 $L$-值的古典 Kato 互惠律？
• RQ3 在家族中实现互惠律插值时，$p$-进 Eisenstein-Kronecker 测度起到什么作用？
• RQ4 在 $p$-进族设定下，对偶指数映射 $\exp^*_{\mathbf{Kato},\nu}$ 的行为如何？它与欧拉系统有何关联？
• RQ5 能否将 $p$-进模形式的常数项解释为通用测度的 $p$-进积分，从而导出互惠律？

主要发现

• 本文在权空间 $\mathscr{W}$ 上构建了以通用特征 $\kappa^{\mathbf{univ}}$ 参数化的 Kato 欧拉系统 $p$-进族，其在经典权处插值经典系统。
• 在 $\mathscr{W}$ 上建立了显式互惠律族，将经典 Kato 互惠律推广至 $p$-进族设定。
• 为表示族 $\mathbf{D}_{1,j,\mathscr{W}}$ 构造了对偶指数映射 $\exp^*_{\mathbf{Kato},\nu}$，从而实现了互惠律的插值。
• 通过 Amice 变换证明，与欧拉系统关联的 $p$-进模形式的常数项等于通用 Eisenstein 测度的 $p$-进积分。
• 关键恒等式 $\exp^*_{\mathbf{Kato},\nu}(z_{M,A}) = \frac{1}{(j-1)!}M^{-2j}\operatorname{ord}(\alpha/M)^{j-1}\kappa^{\mathbf{univ}}(M/\operatorname{ord}(\alpha/M))F_{c,\alpha/M,\beta/M}(\kappa^{\mathbf{univ}},j)E^{(j)}_{d,\gamma/M,\delta/M}$ 获得证明，确认了家族中的互惠律。
• 该构造利用 $p$-进积分与 $p$-进 zeta 函数，实现了 $L$-函数特殊值的插值，通过互惠律将它们与欧拉系统联系起来。