[论文解读] Leafwise fixed points for $C^0$-small Hamiltonian flows and local coisotropic Floer homology
本文在不需假设子流形为接触型或正则（纤维化）且不需微分同胚在包含映射附近为 $C^1$-接近的条件下，证明了闭共变子流形上 $C^0$-小哈密顿流的叶状不动点的存在性。证明引入了一种新颖的局部共变 Floer 同调，将 Floer 理论方法推广至在最小正则性假设下的共变结构。
Consider a closed coisotropic submanifold $N$ of a symplectic manifold $(M,\\omega)$ and a Hamiltonian diffeomorphism $\\phi$ on $M$. The main result of this article is that $\\phi$ has a leafwise fixed point w.r.t. $N$, provided that it is the time-1-map of a Hamiltonian flow whose restriction to $N$ stays $C^0$-close to the inclusion $N\ o M$. This appears to be the first leafwise fixed point result in which neither $\\phi|_N$ is assumed to be $C^1$-close to the inclusion $N\ o M$, nor $N$ to be of contact type or regular (i.e., ``fibering''). The method of proof of this result leads to a local coisotropic version of Floer homology.
研究动机与目标
- 证明作为 $C^0$-小流在闭共变子流形上限制的哈密顿微分同胚的叶状不动点的存在性。
- 消除以往工作中对微分同胚在子流形上与包含映射 $C^1$-接近的假设需求。
- 在不假设子流形为接触型或正则（纤维化）的条件下，将 Floer 同调技术推广至共变子流形。
- 发展一种适用于 $C^0$-小哈密顿流的局部共变 Floer 同调理论。
提出的方法
- 证明依赖于在 $C^0$-小哈密顿流下，为子流形 $N$ 构造一种局部共变 Floer 同调不变量。
- 通过利用 $N$ 上流的 $C^0$-控制，避免了 $C^1$-接近性假设，借助小扰动下不动点的拓扑持久性。
- 关键技术步骤包括：使用保持共变结构至 $C^0$-误差的哈密顿路径，定义合适的链复形。
- 通过将 Floer 理论中的连续性方法适配至共变情形，结合 $C^0$-正则性处理紧致性与横截性。
- 在 $C^0$-小性条件下，证明所得同调非平凡，从而推出至少存在一个叶状不动点。
- 通过聚焦于 $N$ 附近的局部动力学，将经典 Floer 同调推广至共变子流形。
实验结果
研究问题
- RQ1在何种最小正则性条件下，辛流形上的哈密顿微分同胚相对于闭共变子流形会存在叶状不动点？
- RQ2是否可以在不假设微分同胚在子流形上与包含映射 $C^1$-接近的条件下，建立叶状不动点性质？
- RQ3能否定义一种适用于共变子流形的 Floer 同调理论，使其在 $C^0$-小性假设下成立，而非 $C^1$-小性？
- RQ4如何将 Floer 理论技术适配至非必然正则或接触型的共变结构？
- RQ5流在子流形上的 $C^0$-控制在确保不动点存在中起何种作用？
主要发现
- 本文证明了任何作为 $N$ 上 $C^0$-小哈密顿流的时-1映射的哈密顿微分同胚，至少存在一个叶状不动点。
- 该结果不需假设 $\phi|_N$ 与包含映射 $N \hookrightarrow M$ 为 $C^1$-接近，显著放松了以往假设。
- 即使 $N$ 不是接触型或正则（即非纤维化）时，叶状不动点的存在性仍可成立。
- 构造了一种新的局部共变 Floer 同调，其在 $C^0$-小性条件下非平凡，构成证明的关键不变量。
- 该方法引入了一套新的共变子流形 Floer 理论框架，突破了经典设定的限制。
- 结果表明，$N$ 上流的 $C^0$-小性已足够保证不动点的存在，即使在 $N$ 缺乏强几何或正则性假设时亦然。
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