[论文解读] Leafwise Symplectic Structures on Lawson's Foliation (3rd revised)

Yoshihiko Mitsumatsu|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文证明，通过在构成其叶的费马型三次曲面之上构造一种端周期性辛结构，劳森在5-球面上的余维一叶状结构可赋予光滑的叶状辛结构。关键贡献在于证明了这些自然具有锥形且非周期性的仿射曲面，可配备一种渐近匹配其循环覆盖端点周期性结构的辛形式，从而在叶状结构上实现全局叶状辛结构，并由此推出在$S^5$上存在一个辛维数为4的正则泊松结构。

ABSTRACT

The aim of this paper is to show that Lawson's foliation on the 5-sphere admits a smooth leafwise symplectic structure. The main part of the construction is to show that the Fermat type cubic surface admits an end-periodic symplectic structure.

研究动机与目标

• 建立劳森在$S^5$上的余维一叶状结构存在光滑叶状辛结构。
• 克服拓扑障碍：费马三次曲面的自然辛结构在无穷远处呈锥形且非周期性，而其端点微分同胚于科达伊拉-瑟斯顿尼尔流形的循环覆盖，后者具有周期性辛结构。
• 在费马三次曲面上构造一种与端点周期性辛结构相匹配的辛结构，从而在叶状结构上实现全局叶状辛结构。
• 将结果推广至三复变量中三类简单椭圆奇点$\tilde{E}_6$、$\tilde{E}_7$和$\tilde{E}_8$的米尔诺纤维。
• 证明$S^5$上存在一个辛维数为4的正则泊松结构，对应于叶状结构上的叶状辛结构。

提出的方法

• 通过分析费马三次曲面作为仿射复曲面的自然辛结构，该结构呈锥形并不断扩张，因此与端点的周期性结构不相容。
• 通过修改费马三次曲面上的辛形式，构造出一种渐近匹配科达伊拉-瑟斯顿尼尔流形循环覆盖端点周期性辛结构的端周期性辛结构。
• 证明劳森叶状结构的管状部分（即3维尼尔流形的管状邻域）可通过在科达伊拉-瑟斯顿尼尔流形及其覆盖上适当地选择辛形式，而具备叶状辛结构。
• 通过在共同边界（即科达伊拉-瑟斯顿尼尔流形）处建立费马三次叶与管状部分辛形式的相容性，将结构粘合为整个叶状结构上的全局叶状辛结构。
• 运用辛几何拓扑学中的技术，包括全局强凸辛流形的使用以及纤维丛中单值变换的分析，以确保此类端周期性结构的存在性。
• 通过证明$\tilde{E}_7$和$\tilde{E}_8$两类奇点的米尔诺纤维具有与$\tilde{E}_6$类似拓扑与辛性质，将论证扩展至其余两类奇点，使构造可完全适用。

实验结果

研究问题

• RQ1 自然具有锥形辛结构的费马型三次曲面，能否赋予一种与端点周期性辛结构相匹配的辛结构？该端点为科达伊拉-瑟斯顿尼尔流形的循环覆盖。
• RQ2 在叶状辛结构必须在管状部分与费马三次叶之间边界处匹配的前提下，劳森在$S^5$上的余维一叶状结构是否可赋予光滑叶状辛结构？
• RQ3 能否将劳森叶状结构上叶状辛结构的构造推广至三复变量中另外两类简单椭圆奇点$\tilde{E}_7$和$\tilde{E}_8$的米尔诺纤维？
• RQ4 在$S^5$上存在叶状辛结构是否意味着存在一个辛维数为4的正则泊松结构？
• RQ5 除已知的费马三次曲面与可解流形外，是否存在其他紧致4-流形或3-流形，其上存在与这类叶状结构相容的端周期性辛结构？

主要发现

• 费马型三次曲面可赋予端周期性辛结构，从而解决了自然辛形式在无穷远处呈锥形且非周期性的关键障碍。
• 劳森在$S^5$上的叶状结构可赋予光滑叶状辛结构，因为费马三次叶上的辛形式与管状部分的辛形式可通过端周期性结构在边界处匹配。
• 与$\tilde{E}_6$奇点相关的米尔诺纤维可被修改为$S^5$上余维一的叶状辛叶状结构。
• 类似地，$\tilde{E}_7$与$\tilde{E}_8$奇点的米尔诺纤维也具备此类叶状辛结构，从而将结果推广至$\tilde{E}_6$之外的情形。
• $S^5$上存在一个辛维数为4的正则泊松结构，对应于叶状结构上的叶状辛结构。
• 目前已知具有端周期性辛结构的其他流形例子有限：仅费马三次曲面与可解流形如$\mathbb{R} \times \text{Solv}$（其中Solv为3维可解流形）被证明支持此类结构；本文的构造无法推广至高次曲面或布里施科恩尖点奇点，原因在于其单值变换不具纤维化性质。