[论文解读] Leaky Forcing: A New Variation of Zero Forcing

Shannon Dillman, Franklin Kenter|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文引入了 $ι$-强制，一种零强制的新变体，其中图中包含 $ι$ 个泄漏点——附加到单个节点上的额外顶点，这些节点会阻止对应节点执行强制操作。目标是找到最小的初始着色顶点集合，即使存在任意 $ι$ 个泄漏点，仍能强制染色所有顶点。主要成果包括对路径、环、轮图和网格图的精确 $ι$-强制数计算，发现增加边反而可能提升对泄漏的鲁棒性，这一结果出人意料。

ABSTRACT

Zero forcing is a one-player game played on a graph. The player chooses some set of vertices to color, then iteratively applies a color change rule: If all but one of a colored vertex's neighbors are colored, color (i.e. "force") the remaining uncolored neighbor. Generally, the goal is to find the minimum number of vertices to initially color such that all vertices eventually become colored. Recently, equivalent formations of zero forcing have been developed in different settings including sensor allocation to solve linear systems (K.-Lin 2018), controllability in follower-leader dynamics (Monshizadeh-Zhang-Camlibel 2014), and edge covering in specific hypergraphs (Brimkov-Fast-Hicks 2016). While many variations of zero forcing are motivated by an associated minimum rank problem, these new formulations give new inspiration for new meaningful zero forcing variants. In our case, we study a new variation based on the linear algebraic interpretation mentioned above. In particular, what if there is a juncture in a network that has a leak, and, hence, is unreliable to facilitate solving a linear system on the network? In the context of zero forcing this corresponds to the following variation we call $\ell$-forcing: Given $\ell$, find a set of vertices such that for any set of $\ell$ vertices that are unable to force, all vertices will still be colored. We compute the $\ell$-forcing number for selected families of graphs including grid graphs. Perhaps surprisingly, we find examples where additional edges make the graph more "resilient" to these leaks. Further, we also implement known computational methods for our new leaky forcing variation.

研究动机与目标

• 定义并形式化一种新的零强制变体 $ι$-强制，以考虑网络中不可靠节点（泄漏点）的影响。
• 确定在任意 $ι$ 个泄漏点存在的情况下，仍能强制染色所有顶点的最小初始顶点集合大小。
• 计算特定图族（包括路径、环、轮图和笛卡尔积图）的 $ι$-强制数 $Z_{(ι)}(G)$。
• 开发并实现一种整数规划算法，以精确计算一般有限连通图的 $Z_{(ι)}(G)$。
• 探索结构洞见，例如在何种条件下向图中添加边可提升其对泄漏的鲁棒性。

提出的方法

• 将泄漏定义为通过单条边连接到图中已有顶点的新顶点，该顶点无法参与强制过程。
• 引入 $ι$-强制，即任意 $ι$ 个顶点（泄漏点）可能无法执行强制，但整个图仍必须被染色。
• 使用“堡垒”（forts）概念——即无法被强制染色的最小顶点集合，除非集合中所有顶点均被初始着色——来建模整数规划中的约束。
• 构建一个整数规划模型，以最小化初始强制集合的大小，同时确保在任意 $ι$ 个泄漏点配置下，仍能实现完全强制。
• 通过在每次求解失败于 $ι$ 个泄漏点配置时，从未着色顶点中生成新的堡垒，迭代优化整数规划模型。
• 实现一种算法，从所需顶点的最小堡垒出发，动态添加新堡垒，以确保在所有 $ι$-泄漏配置下均具备鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意 $ι$ 个顶点无法执行强制操作的情况下，能强制染色图中所有顶点的最小初始顶点集合大小是多少？
• RQ2 在路径、环、轮图和网格图等不同图族中，$ι$-强制数 $Z_{(ι)}(G)$ 的行为特征如何？
• RQ3 向图中添加边是否可以提高其在强制过程中的抗泄漏能力？如果是，其成立条件是什么？
• RQ4 是否存在网格图 $P_n \Box P_m$ 的 $1$-强制数的通用模式？$Z_{(1)}(P_n \Box P_m) = \min(m, 2n)$ 是否对所有 $n, m$ 成立？
• RQ5 所提出的整数规划与算法方法在计算不同规模和结构图的 $Z_{(ι)}(G)$ 时，效率如何？

主要发现

• 路径 $P_n$ 的 $1$-强制数为 $1$，环 $C_n$ 的 $1$-强制数为 $2$，且对所有此类图族均得出了精确值。
• 对于网格图 $P_m \Box P_m$，当 $m = 3, 4, 5, 6$ 时，$1$-强制数恰好为 $m$，且计算时间随图大小显著增加。
• 轮图 $W_n$ 的 $1$-强制数为 $2$（$n \geq 4$），表明其对单个泄漏点具有高度鲁棒性。
• 令人惊讶的是，向图中添加边可能提升其对泄漏的鲁棒性，这一现象在特定图族中得到验证。
• 结合动态堡垒生成的整数规划方法能成功计算 $Z_{(ι)}(G)$，但计算时间随图大小迅速增长，例如 $P_6 \Box P_6$ 在存在一个泄漏点时耗时超过 1,000 秒。
• 对于含一个泄漏点的立方图，计算时间在约 75 至约 1,050 秒之间，且零强制数越高，计算时间越长。