[论文解读] Learnability of the output distributions of local quantum circuits

Marcel Hinsche, Marios Ioannou+7 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文研究了局部量子线路输出分布的可学习性，表明虽然深度超过对数规模的 Clifford 电路在统计查询模型下无法被高效学习（意味着在此设定下不存在量子优势），但当给予直接样本访问时，经典学习者可以高效地学习这些分布。该工作首次从概率建模的角度对量子线路 Born 机器进行了严格的分析。

ABSTRACT

There is currently a large interest in understanding the potential advantages quantum devices can offer for probabilistic modelling. In this work we investigate, within two different oracle models, the probably approximately correct (PAC) learnability of quantum circuit Born machines, i.e., the output distributions of local quantum circuits. We first show a negative result, namely, that the output distributions of super-logarithmic depth Clifford circuits are not sample-efficiently learnable in the statistical query model, i.e., when given query access to empirical expectation values of bounded functions over the sample space. This immediately implies the hardness, for both quantum and classical algorithms, of learning from statistical queries the output distributions of local quantum circuits using any gate set which includes the Clifford group. As many practical generative modelling algorithms use statistical queries -- including those for training quantum circuit Born machines -- our result is broadly applicable and strongly limits the possibility of a meaningful quantum advantage for learning the output distributions of local quantum circuits. As a positive result, we show that in a more powerful oracle model, namely when directly given access to samples, the output distributions of local Clifford circuits are computationally efficiently PAC learnable by a classical learner. Our results are equally applicable to the problems of learning an algorithm for generating samples from the target distribution (generative modelling) and learning an algorithm for evaluating its probabilities (density modelling). They provide the first rigorous insights into the learnability of output distributions of local quantum circuits from the probabilistic modelling perspective.

研究动机与目标

• 确定局部量子线路输出分布是否可使用概率建模技术被高效学习。
• 评估基于量子线路 Born 机器的生成建模任务中是否存在量子优势。
• 评估在不同预言机模型下（特别是统计查询访问与直接样本访问）这些分布的可学习性。
• 建立经典与量子学习算法在这些分布上的理论极限。
• 为利用近期量子设备进行生成建模的量子机器学习可行性提供基础洞见。

提出的方法

• 分析了在两种预言机模型下——统计查询与直接样本访问——量子线路 Born 机器的 Probably Approximately Correct (PAC) 可学习性。
• 证明了深度超过对数规模的 Clifford 电路的输出分布，在使用样本空间上有界函数的统计查询模型下，无法实现样本高效学习。
• 表明在更强大的直接样本访问模型中，经典学习者可以高效地 PAC 学习局部 Clifford 电路的输出分布。
• 运用有限域线性代数工具，包括随机二元矩阵具有满列秩的概率，建立子空间恢复的概率界。
• 采用一种仿射子空间恢复算法：采样 k 个向量，通过与参考样本进行异或运算将其转换为向量子空间，并应用高斯消去法以恢复基。
• 应用浓度不等式与概率不等式，证明当 k = n + ⌈log(1/δ)⌉ 时，以至少 1−δ 的概率可恢复子空间结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部量子线路的输出分布是否可使用统计查询访问被高效学习？
• RQ2 在通过量子或经典算法学习局部量子线路输出分布时，是否存在量子优势？
• RQ3 在何种条件下，经典学习者可高效学习局部 Clifford 电路的输出分布？
• RQ4 量子线路的深度如何影响其输出分布在统计查询模型下的可学习性？
• RQ5 可靠重构量子线路输出分布支撑集所需的最少样本数是多少？

主要发现

• 深度超过对数规模的 Clifford 电路的输出分布无法在统计查询模型下实现样本高效学习，这意味着任何依赖有界函数经验期望值的学习算法都无法高效学习这些分布。
• 该结果意味着，当使用统计查询时，经典与量子算法在学习此类分布方面均面临根本性困难，而统计查询在实际生成建模算法中十分常见。
• 相比之下，当可直接访问样本时，局部 Clifford 电路的输出分布可被经典学习者在计算上高效地 PAC 学习。
• 经典 PAC 学习所需的样本复杂度为 O(n + log(1/δ))，其中 n 为量子比特数，δ 为失败概率。
• 分析表明，以高概率（至少 1−δ）可恢复输出分布的仿射子空间结构，当样本数 k = n + ⌈log(1/δ)⌉ 时即足够。
• 这些结果同时适用于生成建模（学习采样）与密度建模（学习概率评估），为量子线路 Born 机器提供了统一的理论基础。