[论文解读] Learning control for polynomial systems using sum of squares relaxations

Meichen Guo, Claudio De Persis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2020

Advanced Control Systems Optimization参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对连续时间多项式系统的数据驱动控制设计方法，该方法直接从输入-输出数据中学习状态依赖的稳定控制律，而无需进行系统辨识。通过利用平方和（SOS）优化以及基于汉克尔矩阵的数据表示方法，该方法将稳定控制增益的求解转化为仅依赖于实验数据的SOS规划问题，从而确保计算上的可处理性并提供全局稳定性保证。

ABSTRACT

This paper considers the problem of learning control laws for nonlinear polynomial systems directly from the data, which are input-output measurements collected in an experiment over a finite time period. Without explicitly identifying the system dynamics, stabilizing laws are directly designed for nonlinear polynomial systems using experimental data alone. By using data-based sum of square programming, the stabilizing state-dependent control gains can be constructed.

研究动机与目标

• 解决当真实动力学未知时控制非线性多项式系统的问题。
• 克服传统非线性系统辨识方法计算量大且不切实际的局限性。
• 开发一种无需显式系统辨识即可确保闭环稳定性的数据驱动控制综合方法。
• 仅使用单次实验中采集的有限时间输入-输出测量数据，直接计算稳定控制律。
• 提供一种基于仅数据表示的平方和规划方法的计算可处理框架，用于非线性控制设计。

提出的方法

• 使用基于输入、输出和状态导数测量的汉克尔矩阵数据模型表示系统动力学。
• 将闭环系统动力学表述为 $ \dot{x} = X_{1,T} G(x) Z(x) $，其中 $ G(x) $ 由数据构造，以满足 $ \mathcal{Z}_{0,T} G(x) = I_N $。
• 设计状态反馈控制律 $ u = F(x) Z(x) $，其中 $ F(x) = U_{0,1,T} G(x) $，确保控制增益依赖于数据。
• 使用平方和（SOS）优化构造一个正定的李雅普诺夫函数候选，并使其导数为负定。
• 将稳定性条件表述为涉及多项式矩阵的SOS规划问题，可通过半定规划（SDP）求解。
• 通过SOS分解验证李雅普诺夫函数的导数为负半定，从而确保原点的全局渐近稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不进行系统辨识的情况下，直接从输入-输出数据中学习连续时间多项式系统的稳定控制律？
• RQ2 是否可以构建一种数据驱动的控制设计方法，仅使用有限的实验数据即能保证全局渐近稳定性？
• RQ3 平方和（SOS）优化能否与基于数据的系统表示有效结合，以实现计算上可处理的控制综合？
• RQ4 数据需满足何种条件，才能通过所提出的基于数据的SOS框架保证存在稳定控制律？
• RQ5 如何利用系统状态单项式向量 $ Z(x) $ 的结构，在非线性多项式背景下模拟线性控制设计？

主要发现

• 所提出的方法仅使用单次开环实验中采集的输入-输出数据，即可直接设计多项式系统的稳定控制律。
• 控制律被构造为 $ u = F(x)Z(x) $，其中 $ F(x) $ 通过满足 $ \mathcal{Z}_{0,T} G(x) = I_N $ 的矩阵 $ G(x) $ 从数据中推导得出，从而保证数据的一致性。
• 通过构造一个李雅普诺夫函数，其导数可表示为平方和，从而确保原点的全局渐近稳定性。
• 该设计问题通过半定规划（SDP）转化为凸优化问题，使其计算上可处理。
• 该方法避免了系统辨识和迭代学习，为稳定化提供了一站式数据驱动解决方案。
• 通过数值例子验证了该方法的有效性，展示了仅使用实验数据和SOS规划即可成功稳定一个非线性多项式系统。