[论文解读] Learning Dissipative Dynamics in Chaotic Systems

Zongyi Li, Miguel Liu-Schiaffini+6 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用 11

一句话总结

本文提出一种基于马尔可夫神经算子（MNO）的机器学习框架，用于学习耗散混沌系统的解算子，实现对短时轨迹的精确预测以及对长期统计行为的捕捉。该方法通过强制实现耗散性，防止数值发散或坍塌，从而在雷诺数高达5000的湍流柯尔莫哥洛夫流中实现对不变测度的高精度预测。

ABSTRACT

Chaotic systems are notoriously challenging to predict because of their sensitivity to perturbations and errors due to time stepping. Despite this unpredictable behavior, for many dissipative systems the statistics of the long term trajectories are governed by an invariant measure supported on a set, known as the global attractor; for many problems this set is finite dimensional, even if the state space is infinite dimensional. For Markovian systems, the statistical properties of long-term trajectories are uniquely determined by the solution operator that maps the evolution of the system over arbitrary positive time increments. In this work, we propose a machine learning framework to learn the underlying solution operator for dissipative chaotic systems, showing that the resulting learned operator accurately captures short-time trajectories and long-time statistical behavior. Using this framework, we are able to predict various statistics of the invariant measure for the turbulent Kolmogorov Flow dynamics with Reynolds numbers up to 5000.

研究动机与目标

• 解决在初始条件敏感性导致精确轨迹预测不可行的混沌耗散系统中，长期统计行为预测的挑战。
• 开发一种数据驱动框架，学习混沌PDE的解算子，同时保持耗散结构与不变测度。
• 通过显式强制实现耗散性，确保所学模型在长期运行中的稳定性，这一特性在以往的解算子学习中尚未实现。
• 在传统方法失效的高雷诺数湍流系统（如柯尔莫哥洛夫流）中，展示该方法的有效性。
• 为神经算子提供一个理论基础坚实、通用的近似框架，使其继承真实系统的耗散特性。

提出的方法

• 该框架学习一个马尔可夫神经算子（MNO），仅使用局部数据，将初始状态映射到固定短时间步长h后的解。
• 通过神经算子的通用近似定理建立误差界，MNO被训练以近似真实解算子S_h。
• 通过约束MNO将有界集映射到紧致子集来强制实现耗散性，从而确保长期稳定性与吸引子收敛。
• 通过迭代组合解算子来模拟长时间动力学，利用真实系统所具备的马尔可夫半群性质。
• 该方法使用神经算子在无限维函数空间中建模时间演化，从而高效学习PDE的动力学。
• 未来方向提出解算子的连续形式，以实现O(h)的误差率和无限时间的近似界。

实验结果

研究问题

• RQ1 所学解算子能否准确捕捉混沌耗散PDE的短时轨迹与长期统计特性？
• RQ2 如何在所学神经算子中显式强制实现耗散性，以防止长时间模拟中的数值发散或坍塌？
• RQ3 神经算子在多大程度上可近似混沌系统（如柯尔莫哥洛夫流）的不变测度与全局吸引子？
• RQ4 尽管混沌系统本身具有固有不稳定性，该框架能否在无限时间范围内实现具有可证明误差界的近似？
• RQ5 MNO框架在高雷诺数湍流流场中的理论与实证性能如何？

主要发现

• MNO框架成功预测了雷诺数高达5000的湍流柯尔莫哥洛夫流的不变测度，展现出对长期统计行为的高精度。
• 所学MNO在长时间尺度上保持稳定，即使在迭代过程中存在微小误差累积，也未出现发散或坍塌。
• 该方法的推理速度显著提升，达到传统数值求解器的数个数量级，同时保持低误差。
• 理论分析表明，MNO可被构造为继承真实系统的耗散结构，从而确保收敛至全局吸引子。
• 实证结果证实，MNO能以高保真度近似真实吸引子，即使在精确轨迹因混沌而发散时亦成立。
• 该框架为学习具有可证明耗散性的解算子提供了一种原理清晰、数据驱动的方法，这是该定义下文献中的首次实现。