[论文解读] Learning Fourier series with parametrized quantum circuits

Dirk Heimann, Hohenfeld, Hans+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文研究了各种参数化量子线路（PQCs）在学习一维截断傅里叶级数时的性能，提出了一种新颖的“学习能力”度量以评估其表达能力和可训练性。研究发现，即使PQCs具有相同的傅里叶系数，其训练结果也可能存在显著差异，并提出了一种用于耗散量子神经网络（dQNNs）的数据重上传结构，显著提升了其回归性能，为NISQ设备上高效PQC架构的设计提供了实用指导。

ABSTRACT

Variational quantum algorithms (VQAs) and their applications in the field of quantum machine learning through parametrized quantum circuits (PQCs) are thought to be one major way of leveraging noisy intermediate-scale quantum computing devices. However, differences in the performance of certain VQA architectures are often unclear since established best practices, as well as detailed studies, are missing. In this paper, we build upon the work by Schuld et al. [Phys. Rev. A 103, 032430 (2021)] and Vidal et al. [Front. Phys. 8, 297 (2020)] by comparing how well popular ansätze for PQCs learn different one-dimensional truncated Fourier series. We also examine dissipative quantum neural networks (dQNN) as introduced by Beer et al. [Nat. Commun. 11, 808 (2020)] and propose a data reupload structure for dQNNs to increase their capability for this regression task. By comparing the results for different PQC architectures, we can provide guidelines for designing efficient PQCs.

研究动机与目标

• 为解决在变分量子算法（VQAs）中设计高效参数化量子线路（PQCs）缺乏既定最佳实践的问题。
• 评估并比较不同PQC试探电路架构（如硬件高效型、QAOA和dQNNs）在涉及截断傅里叶级数的回归任务中的性能。
• 提出一种新的性能度量——“学习能力”，以同时捕捉PQCs的表达能力和可训练性。
• 提出并评估dQNNs的数据重上传结构，以增强其学习复杂函数的能力。
• 为最小化量子比特数、门数和参数数，同时避免PQC架构中的巴尔肯高原现象，提供实用的设计指导。

提出的方法

• 将Schuld等人（2021）提出的基于傅里叶的分析框架扩展至使用采样傅里叶系数并利用其逆变换重构目标函数，以比较不同PQCs。
• 基于目标傅里叶级数与PQC输出在一组采样参数下的均方误差，提出一种名为“学习能力”的新性能度量。
• 采用混合量子-经典优化循环，结合Adam优化器，对PQCs在涉及一维截断傅里叶级数的回归任务中进行训练。
• 通过在多个参数化门层中重复编码输入数据，设计并评估了dQNNs的数据重上传结构。
• 在小规模量子线路（最多4个量子比特）上进行数值模拟，确保所有试探电路在相同训练条件和超参数下进行比较。
• 分析了电路深度、纠缠程度和参数数量对优化成功率的影响，尤其关注巴尔肯高原现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同PQC架构（如硬件高效型、QAOA和dQNNs）在学习截断的一维傅里叶级数时表现如何？
• RQ2 具有相同傅里叶系数分布的PQCs是否可能表现出不同的训练性能？如果是，原因是什么？
• RQ3 在回归任务中，引入数据重上传在多大程度上能提升dQNNs的学习能力？
• RQ4 试探电路架构的选择在多大程度上影响其在优化景观中对巴尔肯高原的敏感性？
• RQ5 可推导出哪些设计原则，以在保持高学习能力的同时最小化量子比特数、门数和参数数？

主要发现

• 即使采样傅里叶系数相同，PQCs的训练性能也可能显著不同，表明仅靠傅里叶系数分析不足以预测泛化能力或可训练性。
• 所提出的“学习能力”度量能有效区分不同PQC架构，结果表明：采用数据重上传的dQNNs在学习傅里叶级数方面优于标准dQNNs及其他试探电路类型。
• dQNNs的数据重上传结构显著提升了测试损失和收敛速度，尤其在高频傅里叶分量的学习中效果更明显。
• 量子比特数更少、门数更少的电路展现出更好的泛化能力并降低了对巴尔肯高原的敏感性，支持了最小化电路复杂度的设计原则。
• 所有测试的架构在较大深度下均表现出巴尔肯高原的迹象，尤其在全局代价函数下更为明显，进一步强调了采用浅层、高效试探电路设计的必要性。