[论文解读] Learning Low-Degree Quantum Objects

Srinivasan Arunachalam, Arkopal Dutt+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 2

一句话总结

本论文通过专为量子场景设计的新式博恩斯特定-希尔不等式（Bohnenblust-Hille, BH），建立了学习低度量子对象——具体而言，n-qubit 量子通道、酉操作及来自 d-查询量子算法的多项式——的信息理论查询复杂度界限。论文证明，度数为 d 的量子对象可仅用 O(1/ε^d) 次查询学习，且与 n 无关；而对有界多重线性多项式的经典学习则需要 O((1/ε)^d log n) 次随机样本，通过一种完全有界 BH 不等式（常数为 1）实现了对 ε 和 d 的最优依赖关系。

ABSTRACT

We consider the problem of learning low-degree quantum objects up to $\varepsilon$-error in $\ell_2$-distance. We show the following results: $(i)$ unknown $n$-qubit degree-$d$ (in the Pauli basis) quantum channels and unitaries can be learned using $O(1/\varepsilon^d)$ queries (independent of $n$), $(ii)$ polynomials $p:\{-1,1\}^n ightarrow [-1,1]$ arising from $d$-query quantum algorithms can be classically learned from $O((1/\varepsilon)^d\cdot \log n)$ many random examples $(x,p(x))$ (which implies learnability even for $d=O(\log n)$), and $(iii)$ degree-$d$ polynomials $p:\{-1,1\}^n o [-1,1]$ can be learned through $O(1/\varepsilon^d)$ queries to a quantum unitary $U_p$ that block-encodes $p$. Our main technical contributions are new Bohnenblust-Hille inequalities for quantum channels and completely bounded~polynomials.

研究动机与目标

• 解决低度量子对象是否能以关于 n 的多项式或 polylogarithmic 查询复杂度学习的根本问题。
• 开发新型分析工具——特别是非交换型与完全有界型的博恩斯特定-希尔不等式——用于量子算子与张量。
• 建立学习来自 d-查询量子算法的量子通道、酉操作及多项式的查询复杂度与样本复杂度的紧致信息理论界限。
• 确定完全有界 BH 不等式中常数的精确值，证明其恰好为 1，从而在量子学习理论中显著收紧了现有界限。

提出的方法

• 推导适用于量子通道的新非交换型博恩斯特定-希尔不等式，证明度数为 d 的通道的泡利系数满足 ∑|bΦ(x,y)|^{2d/(d+1)} ≤ C，其中在 S1 → S∞ 范数下 C = 1。
• 提出完全有界 d-线性型的 BH 不等式变体，证明 ‖bT‖_{2d/(d+1)} ≤ ‖T‖_{cb}，且等式可达，从而确立了最优常数 1。
• 利用 Bley 不等式及一个关于完全有界范数的新下界（引理 21）证明完全有界 BH 不等式中常数的最优性。
• 将新 BH 不等式应用于证明：d-查询量子算法生成的振幅为完全有界张量，从而可通过随机样本实现高效经典学习。
• 利用对编码度数为 d 的多项式的酉操作的块编码访问，通过 O(1/ε^d) 次量子查询学习这些多项式。
• 利用新 BH 不等式推导出在 {−1,1}^n 上有界多重线性多项式经典学习的样本复杂度界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 n-qubit 量子通道与度数为 d 的酉操作能否以与 n 无关且关于 1/ε 多项式依赖的查询复杂度学习？
• RQ2 完全有界博恩斯特定-希尔不等式在 d-线性型中的最优常数是多少？能否被精确刻画？
• RQ3 在 {−1,1}^n 上有界的度数为 d 的多重线性多项式能否以仅依赖于 d 和 ε 的样本复杂度实现经典学习，即使 d = O(log n)？
• RQ4 量子通道与超算子的非交换型 BH 不等式与经典及 Grothendieck 型不等式相比如何？
• RQ5 对度数为 d 的多项式块编码的量子查询访问能否实现仅用 O(1/ε^d) 次查询的高效学习？

主要发现

• 完全有界博恩斯特定-希尔不等式的最优常数恰好为 1，相比此前的 poly(d) 上界实现了显著改进。
• 未知的 n-qubit 量子通道与度数为 d 的酉操作可仅用 O(1/ε^d) 次查询学习至 ℓ² 误差 ε，且与 n 无关。
• 度数为 d 的多重线性多项式 f : {−1,1}^n → [−1,1] 可通过 O((1/ε)^d log n) 次随机样本 (x,f(x)) 高概率地实现经典学习。
• 在酉操作 U_p 中以块编码形式编码的多项式，可通过 O(1/ε^d) 次对 U_p 的量子查询实现学习。
• 新 BH 不等式表明，量子通道的泡利系数满足 ∑|bΦ(x,y)|^{2d/(d+1)} ≤ 1，相比此前的 exp(d) 上界有显著改进。
• 该结果表明学习复杂度仅依赖于 d 和 ε，而与 n 无关，从而正面回答了核心问题：低度量子对象可被高效学习。