[论文解读] Learning marginals suffices!

Nengkun Yu, Tzu-Chieh Wei|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文表明，量子电路深度为$D$的低电路复杂度量子态，其输出态可由其$2^D$-局部约化密度矩阵唯一确定——即深度为$D$的电路的低阶边缘态——从而仅通过泡利测量即可实现高效量子态层析。关键结果是，此类态的重建仅需指数级更少的样本数，相比传统层析方法，即使在噪声环境下也能打破指数级样本复杂度的障碍。

ABSTRACT

Beyond computer science, quantum complexity theory can potentially revolutionize multiple branches of physics, ranging from quantum many-body systems to quantum field theory. In this paper, we investigate the relationship between the sample complexity of learning a quantum state and the circuit complexity of the state. The circuit complexity of a quantum state refers to the minimum depth of the quantum circuit necessary to implement it. We show that learning its marginals for the quantum state with low circuit complexity suffices for state tomography, thus breaking the exponential barrier of the sample complexity for quantum state tomography. Our proof is elementary and overcomes difficulties characterizing short-range entanglement by bridging quantum circuit complexity and ground states of gapped local Hamiltonians. Our result, for example, settles the quantum circuit complexity of the multi-qubit GHZ state exactly.

研究动机与目标

• 解决长期以来在低复杂度量子态层析中样本复杂度过高的挑战。
• 建立量子电路复杂度与量子态由其边缘态唯一确定性之间的理论基础。
• 开发一种鲁棒且抗噪声的低复杂度量子态重建方法，仅使用局部泡利测量。
• 为近期含噪声中等规模量子设备（NISQ时代）提供一种实用且高效的全态层析替代方案。
• 提出一种新型经典数据结构——约化密度矩阵的元组——以在经典模拟与验证中高效表示量子态。

提出的方法

• 引入并扩展量子重叠层析方法，通过随机泡利测量学习一组约化密度矩阵。
• 证明深度为$D$的量子电路的输出态可由其$2^D$-局部边缘态唯一确定，利用电路复杂度与能隙局部哈密顿量之间的联系。
• 运用量子信息理论工具，包括完美哈希族与经典阴影，以界定所需泡利测量的最小数量。
• 通过证明：任何与低复杂度态具有相似边缘态的态，其迹距离也必接近，从而建立重建过程的鲁棒性。
• 应用量子多体物理中的技术，如短程纠缠与能隙哈密顿量的基态性质，以刻画低复杂度态的结构特征。
• 通过组合函数（如$\gamma_2(D) \leq D^2 + (D+1)^2$）推导出在结构化晶格（如一维链与正方形晶格）上唯一重建所需的边缘态局部性更优的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 低电路复杂度的量子态能否由其低阶边缘态唯一重建？
• RQ2 重建此类态所需的最小局部测量数（如泡利测量）是多少？其复杂度是指数级还是次指数级增长？
• RQ3 当测量边缘态存在噪声或扰动时，重建过程的鲁棒性如何？
• RQ4 该框架能否推广至结构化量子系统（如一维链或二维晶格），并获得更优的样本复杂度界？
• RQ5 该结果对量子线路优化、态验证以及近中期量子计算中高效数据结构的设计有何启示？

主要发现

• 深度为$D$的量子电路的输出态，即使在一般相互作用图上，也可由其$2^D$-局部约化密度矩阵唯一确定。
• 在一维链上，该态可由其$2D$-局部边缘态唯一确定，相比一般图的界有显著改进。
• 在正方形晶格上，所需局部性受$\gamma_2(D) \leq D^2 + (D+1)^2$限制，相较于一般情况提供了结构化的改进。
• 重建过程具有鲁棒性：任何与低复杂度态边缘态相近的态，其迹距离也必接近，从而支持抗噪声的验证。
• 该方法在仅允许泡利测量的条件下，打破了低复杂度态层析的指数级样本复杂度障碍。
• 该结果确定了多量子比特GHZ态的精确量子电路复杂度，确认其为$\Theta(n)$，并为在NISQ时代使用约化密度矩阵作为数据结构提供了理论依据。