[论文解读] Learning Poisson systems and trajectories of autonomous systems via Poisson neural networks

Pengzhan Jin, Zhen Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2020

Computational Physics and Python Applications被引用 5

一句话总结

该论文提出泊松神经网络（PNNs），一种物理信息深度学习框架，通过利用达布-李定理，学习自治动力系统的泊松系统及其轨迹。PNNs 将相空间流分解为坐标变换、辛映射和逆变换三部分，采用带有物理先验的结构化神经网络以确保几何结构保持，从而在学习复杂系统（包括电磁粒子运动、非线性薛定谔方程动力学以及从像素数据中提取的二体问题）时实现高精度。

ABSTRACT

We propose the Poisson neural networks (PNNs) to learn Poisson systems and trajectories of autonomous systems from data. Based on the Darboux-Lie theorem, the phase flow of a Poisson system can be written as the composition of (1) a coordinate transformation, (2) an extended symplectic map and (3) the inverse of the transformation. In this work, we extend this result to the unknotted trajectories of autonomous systems. We employ structured neural networks with physical priors to approximate the three aforementioned maps. We demonstrate through several simulations that PNNs are capable of handling very accurately several challenging tasks, including the motion of a particle in the electromagnetic potential, the nonlinear Schr{ö}dinger equation, and pixel observations of the two-body problem.

研究动机与目标

• 开发一种神经网络架构，能够从数据中学习泊松系统及其轨迹，即使其底层动力学不处于标准形式。
• 将保持辛结构的学习框架从哈密顿系统扩展至一般泊松系统，包括非标准坐标和约束力学系统。
• 利用达布-李定理，将泊松系统的相空间流分解为坐标变换、辛映射和逆变换，实现结构化学习。
• 设计一种将物理先验（如辛性与可逆性）嵌入网络结构中的神经网络架构，以提升泛化能力和精度。
• 在具有高维观测（如像素数据）和非标准坐标等挑战性问题上，展示该方法的有效性。

提出的方法

• PNNs 将泊松系统的相空间流分解为三个部分：转换为标准形式的坐标变换、在标准坐标下的辛映射，以及将结果反变换回原始坐标。
• 坐标变换通过可逆神经网络（INNs）建模，包括体积保持型（NICE）和非体积保持型（real NVP）变体，以确保可逆性与可微性。
• 辛映射通过扩展的辛神经网络（E-SympNets）实现，其由专门设计的辛模块构成，以保持变换后哈密顿系统的辛结构。
• 对于低维流形，使用自编码器将高维数据映射至维度为 2d 的潜在空间，使系统呈现哈密顿性质。
• 整个架构通过端到端训练，损失函数同时强制满足数据保真度与结构保持，采用物理信息正则化以维持几何属性。
• 该方法基于达布-李定理，该定理保证了任意泊松系统在局部存在坐标变换，可将其转换为哈密顿系统，从而可应用辛积分器与辛神经网络。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度神经网络架构能否从数据中学习一般泊松系统的相空间流，即使系统不处于标准坐标？
• RQ2 如何将物理先验（特别是辛性与微分同胚结构）嵌入神经网络，以提升动力系统学习的精度与泛化能力？
• RQ3 PNNs 在多大程度上能从高维观测（如二体系统的像素数据）中重建轨迹与动力学？
• RQ4 该框架能否处理非标准泊松括号系统，如非线性薛定谔方程或电磁场中带电粒子的运动？
• RQ5 与标准神经ODE或HNN相比，将相空间流分解为坐标变换、辛映射和逆变换三部分，如何提升学习的稳定性和精度？

主要发现

• PNNs 有效学习了电磁势中粒子的运动，准确重建了轨迹并保持了底层泊松结构。
• 该方法在从数据中学习非线性薛定谔方程时表现出高精度，即使在存在复杂非标准动力学的情况下亦然。
• PNNs 能够从像素观测中重建二体问题的动力学，展示了对高维图像输入数据的强鲁棒性。
• 使用可逆神经网络进行坐标变换，实现了有效的降维，并将高维数据到标准哈密顿框架的结构保持映射。
• 通过在辛映射中集成 E-SympNets，确保了学习到的动力学保持辛结构，这对长期稳定性和精度至关重要。
• 在具有非标准泊松括号的系统中，该框架在学习性能上优于标准神经ODE与HNN，尤其当数据不处于标准坐标时表现更优。