[论文解读] Learning Regions of Attraction in Unknown Dynamical Systems via Zubov-Koopman Lifting: Regularities and Convergence

Yiming Meng, Ruikun Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

该论文提出一种数据驱动方法，通过学习一个Zubov-Koopman算子，将可观测轨迹映射到无穷维函数空间，从而估计未知非线性动力系统中的吸引域（ROA）。通过迭代应用所学算子来近似Zubov方程的解，该方法在减少数据需求的同时实现对真实ROA的收敛，并能实现近似最大值的李雅普诺夫函数估计，且具备形式化验证能力。

ABSTRACT

The estimation for the region of attraction (ROA) of an asymptotically stable equilibrium point is crucial in the analysis of nonlinear systems. There has been a recent surge of interest in estimating the solution to Zubov's equation, whose non-trivial sub-level sets form the exact ROA. In this paper, we propose a lifting approach to map observable data into an infinite-dimensional function space, which generates a flow governed by the proposed `Zubov-Koopman' operators. By learning a Zubov-Koopman operator over a fixed time interval, we can indirectly approximate the solution to Zubov's equation through iterative application of the learned operator on certain functions. We also demonstrate that a transformation of such an approximator can be readily utilized as a near-maximal Lyapunov function. We approach our goal through a comprehensive investigation of the regularities of Zubov-Koopman operators and their associated quantities. Based on these findings, we present an algorithm for learning Zubov-Koopman operators that exhibit strong convergence to the true operator. We show that this approach reduces the amount of required data and can yield desirable estimation results, as demonstrated through numerical examples.

研究动机与目标

• 估计在完整系统动力学不可用的情况下，未知非线性动力系统中渐近稳定平衡点的吸引域（ROA）。
• 开发一种提升框架，将可观测轨迹数据映射到由线性Zubov-Koopman算子控制的无穷维函数空间。
• 通过迭代应用所学算子，近似求解Zubov方程——其子水平集定义了精确的ROA。
• 从近似解构造近似最大值李雅普诺夫函数，以实现稳定性的形式化验证。
• 在数据驱动学习下，建立Zubov-Koopman算子的理论正则性与收敛性属性。

提出的方法

• 使用Koopman型算子框架将可观测状态轨迹提升到函数空间，由此产生由Zubov-Koopman算子控制的线性演化过程。
• 将Zubov-Koopman算子定义为时间连续半群，通过系统在固定时间间隔内的流来演化函数。
• 利用数据驱动近似方法（如EDMD或基于神经网络的函数逼近）从轨迹数据中学习Zubov-Koopman算子。
• 通过迭代应用所学算子到参考函数，结合半群性质与粘性解理论，近似求解Zubov方程。
• 通过应用单调变换将所学逼近器转化为近似最大值李雅普诺夫函数，确保前向不变性与稳定性验证。
• 利用底层PDE的正则性分析与粘性解理论，建立所学算子向真实Zubov-Koopman算子收敛的理论依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 数据驱动方法能否在保证收敛的前提下，近似求解未知非线性系统的Zubov方程？
• RQ2 如何从有限轨迹数据中构建Zubov-Koopman算子，以在提升的函数空间中表示系统动力学？
• RQ3 Zubov-Koopman算子具有何种正则性属性？这些属性如何确保学习过程的稳定性和收敛性？
• RQ4 所学逼近器能否被转化为一个近似最大值李雅普诺夫函数，从而提供对ROA的形式化验证？
• RQ5 与传统形式化方法或直接PDE求解器相比，该方法在多大程度上减少了数据需求？

主要发现

• Zubov-Koopman算子被证明是在合适函数空间上的一致连续半群，确保了提升框架的适定性。
• Zubov方程的解被唯一表征为粘性解，且在适当的定义域条件下，Zubov-Koopman算子能保持这种唯一性。
• 在较弱正则性假设下，所学Zubov-Koopman算子收敛于真实算子，收敛速度取决于数据质量与函数逼近精度。
• 通过利用提升空间中Koopman算子的线性结构，该方法相比经典形式化方法显著减少了数据需求。
• 将所学逼近器经变换后可得到一个近似最大值李雅普诺夫函数，可用于保证不变性的ROA形式化验证。
• 数值实验表明，即使在轨迹数据有限的情况下，该方法仍能实现高精度的ROA估计，优于基线数据驱动李雅普诺夫方法。