[论文解读] Learning stabilizer states by Bell sampling

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种量子算法，仅使用 $O(n)$ 个副本和贝尔采样（即成对测量两个量子比特于贝尔基）即可识别未知的 $n$ 量子比特稳定化态。该方法通过在两量子比特对上进行集体测量，高效地重构稳定化群，运行时间为 $O(n^3)$，失败概率指数级小，与 Holevo 定理给出的信息理论下限一致。

ABSTRACT

We show that measuring pairs of qubits in the Bell basis can be used to obtain a simple quantum algorithm for efficiently identifying an unknown stabilizer state of n qubits. The algorithm uses O(n) copies of the input state and fails with exponentially small probability.

研究动机与目标

• 开发一种高效量子算法，用于识别未知的 $n$ 量子比特稳定化态。
• 最小化所需态副本数，实现 $O(n)$ 个副本，与 Holevo 定理给出的信息理论下限一致。
• 仅对每对副本进行两两贝尔测量，相比更复杂的集体测量，简化了实现。
• 确保高成功概率，失败率在 $n$ 上指数级减小。
• 为量子信息处理中的稳定化态学习提供一种实用且可扩展的方法。

提出的方法

• 通过将 $n$ 量子比特副本的每对量子比特在贝尔基上测量，执行贝尔采样，得到一个 $2n$ 位的结果字符串。
• 观察结果 $r$ 的概率与 $|\langle \psi | \sigma_r | \psi^* \rangle|^2 / 2^n$ 成正比，将测量结果与稳定化结构联系起来。
• 该算法相对于参考结果 $r_0$ 收集 $2n$ 个贝尔样本，形成差值 $r_i \oplus r_0$，这些差值在稳定化群 $T \subseteq \mathbb{F}_2^{2n}$ 上均匀分布。
• 通过在 $2n$ 个差值向量上进行高斯消元，提取出稳定化群 $T$ 的基，这些向量以高概率张成 $T$。
• 通过在对应泡利算符的本征基上测量单个 $|\psi\rangle$ 副本，确定相位信息（本征值的符号）。
• 该算法总共使用 $5n+2$ 个副本：一个参考对和 $2n$ 个额外的对用于采样。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅使用 $O(n)$ 个态副本识别稳定化态，与信息理论下限一致？
• RQ2 对副本对进行贝尔采样是否能提供足够信息以重构完整的稳定化群？
• RQ3 是否可能通过基于贝尔基测量的简单测量方案实现高保真度的态识别？
• RQ4 使用 $O(n)$ 个贝尔样本重构稳定化群的成功概率是多少？
• RQ5 该算法是否能在 $O(n^3)$ 时间内高效运行，同时保持低失败概率？

主要发现

• 该算法仅使用 $O(n)$ 个副本即可识别未知稳定化态，与 Holevo 定理给出的信息理论下限一致。
• 失败概率在 $n$ 上指数级减小，通过在维数为 $n-1$ 的子空间上使用并集界，其上界为 $2^{-n}$。
• 该算法运行时间为 $O(n^3)$，主要由用于寻找稳定化群基的高斯消元决定。
• 当相对于参考样本取差值时，对两量子比特对的贝尔采样在稳定化群 $T$ 上产生均匀分布的结果。
• 该方法推广了 Rötteler 对 $\mathbb{F}_2$ 上二次布尔函数学习的算法。
• 该方法在实验上可行，仅依赖于贝尔基测量和单量子比特测量，易于实现。