[论文解读] Least conflict choosability

Zdenĕk Dvořák, Louis Esperet+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入了单冲突色数这一新的图染色参数，通过在边处基于局部颜色分配定义冲突，推广了列表染色和可适配染色。研究证明，对于欧拉亏格为 $ g $ 的可嵌入图，该参数为 $ O(g^{1/4} /\log g) $，其紧性仅在对数因子范围内，扩展了已知的曲面上色数界。

ABSTRACT

Given a multigraph, suppose that each vertex is given a local assignment of $k$ colours to its incident edges. We are interested in whether there is a choice of one local colour per vertex such that no edge has both of its local colours chosen. The least $k$ for which this is always possible given any set of local assignments we call the {\\em single-conflict chromatic number} of the graph. This parameter is closely related to separation choosability and adaptable choosability. We show that single-conflict chromatic number of simple graphs embeddable on a surface of Euler genus $g$ is $O(g^{1/4}\\log g)$ as $g\ o\\infty$. This is sharp up to the logarithmic factor.

研究动机与目标

• 定义并研究单冲突色数，这是一种推广分离可选性与可适配可选性的新染色参数。
• 确定该参数在欧拉亏格为 $ g $ 的曲面上可嵌入图中的渐近行为，特别是 $ \mu = 1 $（简单图）情形。
• 利用概率方法与洛瓦兹局部引理，建立紧致上界（仅在对数因子范围内）。
• 通过覆盖图中的独立横截，建立单冲突色数与顶点分划图中独立横截之间的联系。
• 通过构造具有高单冲突色数的多重图（甚至在平面情形下），证明该界是紧致的。

提出的方法

• 定义每个顶点处的局部 $ k $-划分，为关联边分配 $ k $ 种颜色，并定义冲突避免：为每个顶点选择一种颜色，使得任意边的两端点不被分配冲突的局部颜色。
• 使用独立的伯努利试验进行概率方法，为顶点分配颜色，以确保冲突事件发生的概率较低。
• 将坏事件分为三类：I类（顶点颜色与邻居冲突）、II类（局部颜色使用不一致）、III类（局部颜色使用过多），并界定其依赖关系。
• 应用洛瓦兹局部引理，使用精心选择的权重（I类和II类事件的 $ x_i = 2^{-7}/d $；III类事件的 $ x_i = 2\text{exp}(-2^{-6}\text{sqrt}(d)) $），以保证存在无冲突染色的正概率。
• 建立独立性界：每个事件最多依赖于 $ d $ 个I类事件、$ d $ 个II类事件和 $ d^2 $ 个III类事件，经剪枝后III类依赖关系减少至 $ d^{3/2} $。
• 从局部引理条件推导不等式，并验证其在大 $ d $ 时成立，从而证明存在有效染色的正概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于欧拉亏格为 $ g $ 的可嵌入图，单冲突色数的渐近增长行为如何？
• RQ2 单冲突色数与分离可选性及可适配可选性有何关系？
• RQ3 能否改进 $ O(g^{1/4} \log g) $ 的界，还是该界仅在对数因子范围内是紧致的？
• RQ4 在边重数有界的平面多重图中，单冲突色数的最大可能值是多少？
• RQ5 单冲突色数能否通过关联覆盖图中的独立横截重新解释？

主要发现

• 对于最大边重数为 $ \mu $ 且可嵌入欧拉亏格为 $ g $ 的曲面的多重图，其单冲突色数上界为 $ \max\{ C_1 \sqrt{\mu} (g+1)^{1/4} \log(\mu^2(g+2)), 8\mu \} $，其中常数 $ C_1 > 0 $。
• 对于简单图（即 $ \mu = 1 $），单冲突色数为 $ O((g+1)^{1/4} \log(g+2)) $，其渐近行为与海伍德型界一致，仅在对数因子范围内。
• 该界在对数因子范围内是紧致的，通过显式构造具有超过 $ \Omega(\sqrt{\mu}) $ 和 $ \Omega(a\mu) $ 单冲突色数的多重图得以证明，尤其在平面情形下。
• 即使允许每条边有 $ O(\log g) $ 个冲突，并要求每个顶点使用 $ \Omega(\log d) $ 种不同颜色，该界仍保持为 $ O(g^{1/4} (\log g)^{5/4}) $。
• 单冲突色数等价于关联覆盖图中存在独立横截，从而与横截问题建立了对偶关系。
• 使用洛瓦兹局部引理的概率构造在 $ d \geq 2^{23} $ 时成功，确保在给定权重分配下，存在无冲突染色的正概率。