[论文解读] Least Squares Methods for Equidistant Tree Reconstruction

Conor Fahey, Serkan Hoşten+2 more|ArXiv.org|Aug 28, 2008

Remote Sensing and LiDAR Applications参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于完全图 $K_n$ 的图拟阵的 Bergman 复形的几何框架，用于等距树重建，表明 UPGMA 执行的是对该复形中某个最大胞腔的正交投影。关键贡献在于证明了最小二乘等距树是通过正交投影到某个最大 Bergman 胞腔获得的，且 UPGMA 并不总是产生最优解——由此提出了一个新的扩展 UPGMA 算法和一种用于精确树选择的分支限界法，数据表明对于某些输入，至少存在 $(n-1)!$ 棵可能的最优树。

ABSTRACT

UPGMA is a heuristic method identifying the least squares equidistant phylogenetic tree given empirical distance data among $n$ taxa. We study this classic algorithm using the geometry of the space of all equidistant trees with $n$ leaves, also known as the Bergman complex of the graphical matroid for the complete graph $K_n$. We show that UPGMA performs an orthogonal projection of the data onto a maximal cell of the Bergman complex. We also show that the equidistant tree with the least (Euclidean) distance from the data is obtained from such an orthogonal projection, but not necessarily given by UPGMA. Using this geometric information we give an extension of the UPGMA algorithm. We also present a branch and bound method for finding the best equidistant tree. Finally, we prove that there are distance data among $n$ taxa which project to at least $(n-1)!$ equidistant trees.

研究动机与目标

• 使用完全图 $K_n$ 的图拟阵的 Bergman 复形，理解具有 $n$ 个叶的等距树空间的几何结构。
• 从 Bergman 复形的最大胞腔的正交投影角度，分析 UPGMA 算法的行为。
• 确定 UPGMA 无法生成最小二乘等距树的条件。
• 开发一种新的扩展 UPGMA 算法和一种分支限界法，以寻找全局最优的等距树。
• 建立给定距离数据集下可能为最优的等距树数量的下界，表明至少存在 $(n-1)!$ 棵这样的树。

提出的方法

• 将具有 $n$ 个叶的所有等距树的空间建模为 $K_n$ 的图拟阵的 Bergman 复形 $\mathcal{B}_n$，其为一个多面体复形。
• 证明在标准欧几里得内积下，UPGMA 对 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ 中的输入距离数据向量执行的是向 $\mathcal{B}_n$ 的某个最大胞腔的正交投影。
• 证明真正的最小二乘等距树对应于向某个最大 Bergman 胞腔的正交投影，但不一定是 UPGMA 所选择的同一个胞腔。
• 提出对数据空间 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ 的多面体剖分，其中每个胞腔对应于投影到相同一组最大 Bergman 胞腔的数据向量。
• 提出一种扩展的 UPGMA 算法，基于 Bergman 复形的几何结构，探索多个候选最大胞腔。
• 实现一种分支限界算法，通过系统评估所有可能的最大胞腔投影，以寻找全局最优的等距树。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的差异度量，UPGMA 是否总是产生最小二乘等距树？
• RQ2 等距树空间与最小二乘优化问题之间存在何种几何关系？
• RQ3 是否可以通过向 Bergman 复形 $\mathcal{B}_n$ 的某个最大胞腔进行正交投影，找到最优的等距树？
• RQ4 单个距离数据集中可能有多少棵不同的等距树为最优？
• RQ5 Bergman 复形的结构能否用于设计比 UPGMA 更精确的最小二乘等距树重建算法？

主要发现

• UPGMA 对输入距离数据向 Bergman 复形 $\mathcal{B}_n$ 的某个最大胞腔执行正交投影，但该投影并不总能产生最小二乘最优树。
• 全局最优的等距树是通过向某个最大 Bergman 胞腔进行正交投影获得的，但不一定是 UPGMA 所选择的胞腔。
• 存在某些 $n$ 个分类群的距离数据集，其达到最小二乘准则的等距树数量至少为 $(n-1)!$。
• 将数据空间 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ 剖分为投影到相同最大 Bergman 胞腔集合的区域时，该剖分可能具有不连通的组成部分。
• 在包含 11 至 19 种胎盘哺乳动物的生物数据集中，随着非时钟样分类群的增加，最优等距树的数量从 1 棵增加到 6 棵，表明对分子钟假设的偏离具有敏感性。
• 对于最多含 18 个分类群的数据集，最优最小二乘树始终支持非洲胎生类、贫齿类和真有胎盘类的分支顺序，与贝叶斯和最大似然结果一致，尽管在偶蹄目和蝙蝠的系统位置上仍存在持续的不一致。