[论文解读] Leave-one-out least squares Monte Carlo algorithm for pricing Bermudan options

Jeechul Woo, Chenru Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 46被引用 3

一句话总结

本文提出了一种留一法最小二乘蒙特卡洛（LOOLSM）算法，以消除使用LSM方法定价美式与百慕达式期权时的前瞻偏差。通过在留一法样本上训练回归模型，LOOLSM消除了提前决策与未来收益之间的虚假相关性，实现偏差降低而无需加倍模拟，其渐近偏差与回归变量数对模拟路径数的比值成正比。

ABSTRACT

The least squares Monte Carlo (LSM) algorithm proposed by Longstaff and Schwartz (2001) is widely used for pricing Bermudan options. The LSM estimator contains undesirable look-ahead bias, and the conventional technique of avoiding it requires additional simulation paths. We present the leave-one-out LSM (LOOLSM) algorithm to eliminate look-ahead bias without doubling simulations. We also show that look-ahead bias is asymptotically proportional to the regressors-to-paths ratio. Our findings are demonstrated with several option examples in which the LSM algorithm overvalues the options. The LOOLSM method can be extended to other regression-based algorithms that improve the LSM method.

研究动机与目标

• 解决标准最小二乘蒙特卡洛（LSM）算法在美式与百慕达式期权定价中固有的前瞻偏差问题。
• 开发一种计算高效的替代方法，以替代传统的双重模拟方法来消除偏差。
• 建立理论基础，证明前瞻偏差在渐近意义上与回归变量数对模拟路径数的比值成正比。
• 在多资产及复杂结构票据期权中展示该方法的有效性，这些场景下LSM会高估期权价格。
• 将LOOLSM框架扩展至其他基于回归的蒙特卡洛算法，以提升衍生品定价的准确性。

提出的方法

• 提出一种留一法交叉验证方法，其中用于连续价值估计的回归模型在除一条路径外的所有模拟路径上进行训练，从而消除使用同一路径同时进行决策与收益评估所导致的前瞻偏差。
• 在每个行权日应用留一法回归，确保估计的连续价值在条件上与决策规则中使用的未来收益路径无关。
• 该方法通过避免完整的第二轮模拟集，保持了计算效率，与传统的双重模拟方法不同。
• 理论分析表明，LSM中的前瞻偏差在渐近意义上与基函数（回归变量）数量对模拟路径数量的比值成正比。
• 利用归纳与概率论论证，证明LOOLSM估计器的偏差以概率和期望意义下以 O_p(M/N) 的速率收敛至零，其中 M 为回归变量数，N 为路径数。
• 采用集中不等式与矩界，建立在基函数与收益结构满足正则性条件下的收敛性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不加倍模拟数量的情况下消除LSM算法中的前瞻偏差？
• RQ2 LSM中回归变量数与前瞻偏差大小之间的理论关系为何？
• RQ3 在LSM已知会高估期权价格的多资产百慕达式期权中，LOOLSM方法表现如何？
• RQ4 在标准假设下，LOOLSM估计器是否以概率和期望意义收敛至真实期权价格？
• RQ5 LOOLSM框架能否推广至其他基于回归的蒙特卡洛方法，以实现衍生品定价中的更高精度？

主要发现

• LOOLSM算法成功消除了美式与百慕达式期权定价中的前瞻偏差，且无需第二轮模拟集，为双重模拟方法提供了一种计算高效的替代方案。
• 理论分析证实，LSM中的前瞻偏差在渐近意义上与回归变量数（M）对模拟路径数（N）的比值成正比，即 O_p(M/N)。
• 在多资产期权示例中，标准LSM方法因前瞻偏差而显著高估期权价格，而LOOLSM能有效纠正此高估。
• LOOLSM估计器以概率收敛至真实期权价格，且随着模拟路径数增加，偏差衰减至零。
• LOOLSM估计器的期望偏差为 o_p(1)，且对任意 δ > 0 和 ε > 0，通过增加 N 可使偏差超过 δ 的概率任意小，从而证实其一致性。
• 该方法可推广至其他基于回归的蒙特卡洛算法，为基于模拟的衍生品定价提供了一般性的偏差降低框架。