[论文解读] Leavitt path algebras with at most countably many irreducible representatios

Pere Ara, Kulumani M. Rangaswamy|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用 3

一句话总结

本论文建立了Leavitt路径代数$L_K(E)$具有至多可数个单左或右模的同构类——即具有可数不可约表示型（CIRT）——的必要且充分条件。证明了$L_K(E)$为CIRT当且仅当它是长度为可数序数的光滑递增的graded理想链的并，其中每个后续商模为至多可数个矩阵环的直和，其系数为$K$或$K[x,x^{-1}]$，并表明若图$E$包含环路，则域$K$必须是可数的。

ABSTRACT

Let E be an arbitrary directed graph with no restrictions on the number of vertices and edges and let K be any field. We give necessary and sufficient conditions for the Leavitt path algebra L_K(E) to be of countable irreducible representation type, that is, we determine when L_K(E)has at most countably many distinct isomorphism classes of simple left L_K(E-modules. It is also shown that L_K(E) has dinitely many isomorphism classes of simple left modules if and only if L_K(E) is a semi-artinian von Neumann regular ring with at most finitely many ideals. Equivalent conditions on the graph E are also given. Examples are constructed showing that for each (finite or infinite) cardinal m there exists a Leavitt path algebra L having exactly m distinct isomorphism classes of simple left modules.

研究动机与目标

• 确定Leavitt路径代数$L_K(E)$何时具有至多可数个单模的同构类。
• 阐明图$E$与域$K$的结构条件，以确保具有可数不可约表示型（CIRT）。
• 通过具有有限个理想的半阿廷von Neumann正则环，建立有限不可约表示型的刻画。
• 构造Leavitt路径代数的例子，使其恰好具有$\kappa$个不同同构类的单右模，其中$\kappa$为任意基数。

提出的方法

• 使用长度为可数序数$\tau$的光滑递增graded理想链$0 = I_0 < I_1 < \cdots < I_\alpha < \cdots$，对$L_K(E)$进行分解。
• 分析连续商模$I_{\alpha+1}/I_\alpha$为$K$与$K[x,x^{-1}]$上矩阵环的直和，这些结构用于分类单模。
• 应用代数分支系统理论及Chen通过源点与无限路径表示单模的方法，分析单模。
• 利用超限归纳法，为每个序数$\lambda$构造'金字塔'图$P_\lambda$，使得$L_K(P_\lambda)$恰好具有$|\lambda|$个同构类的单模。
• 利用图$E$中线点与遗传饱和集的结构，控制模范畴。
• 证明$L_K(E)$为半阿廷von Neumann正则环且仅有有限个理想，当且仅当其仅有有限个单模。

实验结果

研究问题

• RQ1 图$E$与域$K$的何种条件可确保$L_K(E)$具有至多可数个单左模的同构类？
• RQ2 在何种条件下$L_K(E)$仅有有限个单模的同构类？这与半阿廷性及von Neumann正则性等环论性质有何关联？
• RQ3 Leavitt路径代数能否实现任意给定基数$\kappa$作为单右模同构类的数量？若能，如何实现？
• RQ4 在CIRT代数的背景下，图$E$中存在环路如何限制域$K$？
• RQ5 graded理想及其连续商模在分类$L_K(E)$的单模范畴中起何种作用？

主要发现

• Leavitt路径代数$L_K(E)$为可数不可约表示型（CIRT）当且仅当它是长度为可数序数的光滑递增graded理想链的并，且每个商模$I_{\alpha+1}/I_\alpha$为至多可数个矩阵环的直和，其系数为$K$或$K[x,x^{-1}]$。
• 若图$E$包含环路，则为使$L_K(E)$为CIRT，域$K$必须是可数的。
• $L_K(E)$具有有限个单左/右模的同构类，当且仅当其为具有有限个理想的半阿廷von Neumann正则环。
• 对任意基数$\kappa$，存在Leavitt路径代数$L_K(E)$，其恰好具有$\kappa$个不同同构类的单右$L_K(E)$-模。
• 通过超限归纳法构造'金字塔'图$P_\lambda$，可得$L_K(P_\lambda)$恰好具有$|\lambda|$个同构类的单模。
• 当$E$为有限图时，$L_K(E)$具有有限个单模，当且仅当$L_K(E)$为阿廷半单环，这恰好发生在$E$为无环图时。