[论文解读] Lebesgue and Hardy spaces for symmetric norms I

Yanni Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文引入并研究了与 $L^\infty(\mathbb{T})$ 上连续旋转对称范数 $\alpha$ 相关的 Lebesgue 空间 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 和 Hardy 空间 $H^\alpha(\mathbb{T})$，推广了经典的 $L^p$ 和 $H^p$ 空间。本文建立了若干关键结果，包括控制收敛定理、通过 $\alpha'$ 的对偶性、当 $\alpha$ 和 $\alpha'$ 均为强连续时的自反性，以及 von Neumann 代数中非交换 $L^\alpha$ 空间的对偶定理。

ABSTRACT

In this paper, we define and study a class $\mathcal{R}_{c}$ of norms on $L^{\infty}\left( \mathbb{T} ight) $, called $continuous\ rotationally\ symmetric \ norms$, which properly contains the class $\left \{ \left \Vert \cdot ight \Vert _{p}:1\leq p

研究动机与目标

• 通过引入连续旋转对称范数 $\alpha$，将经典 $L^p$ 和 $H^p$ 空间理论从 $p$-尺度推广至更广范围，构造空间 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 和 $H^\alpha(\mathbb{T})$。
• 统一并推广该类范数全集中的结果，如控制收敛定理、对偶性以及 Beurling 型不变子空间定理。
• 在 von Neumann 代数中建立非交换 $L^\alpha$ 空间的对偶框架，将经典对偶性推广至对称规范范数。
• 以 $\alpha$ 和其对偶 $\alpha'$ 的强连续性为条件，刻画 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 的自反性与弱序列完备性。

提出的方法

• 将 $L^\infty(\mathbb{T})$ 上的连续旋转对称范数 $\alpha$ 定义为在旋转下不变的规范范数，满足对所有 $w \in \mathbb{T}$ 有 $\alpha(f_w) = \alpha(f)$。
• 将 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 定义为 $L^\infty(\mathbb{T})$ 关于 $\alpha$ 的闭包，将 $H^\alpha(\mathbb{T})$ 定义为 $\{1, z, z^2, \dots\}$ 关于 $\alpha$ 的闭线性张成。
• 通过对偶性定义对偶半范数 $\alpha'$：$\mathcal{L}^{\alpha'}(\mathbb{T})$ 是 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 的对偶空间，且满足 $\alpha'' = \alpha$。
• 证明 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 上的控制收敛定理，并表明该定理可刻画 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 在 $\mathcal{L}^\alpha(\mathbb{T})$ 中的位置。
• 利用 Fejér 和 Poisson 核的卷积，证明 $L^\alpha(\mathbb{T}, X)$ 中的函数是其傅里叶级数的 Cesàro 平均的极限。
• 通过强连续性条件，在 von Neumann 代数中建立非交换对偶性，证明 $L^\alpha(\mathcal{M}, \tau)^\# = L^{\alpha'}(\mathcal{M}, \tau)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典 $L^p$ 和 $H^p$ 空间的结果如何能从 $p$-尺度推广至更广范围的范数？
• RQ2 旋转对称范数 $\alpha$ 需满足何种条件，才能保证 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 的自反性或弱序列完备性？
• RQ3 能否建立 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 的对偶理论？其与对偶范数 $\alpha'$ 的关系如何？
• RQ4 对于取值于 Banach 空间的函数 $f \in L^\alpha(\mathbb{T}, X)$，卷积与三角多项式逼近行为如何？
• RQ5 von Neumann 代数中 $L^\alpha$ 对偶性的非交换类比是什么？在何种条件下可保证对偶同构成立？

主要发现

• 在连续 $\alpha$ 下，$L^\alpha(\mathbb{T})$ 的对偶空间等距同构于 $\mathcal{L}^{\alpha'}(\mathbb{T})$，且 $\alpha'' = \alpha$ 成立。
• 连续范数 $\alpha$ 为强连续当且仅当 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 为弱序列完备。
• 当 $\alpha$ 和 $\alpha'$ 均为强连续时，$L^\alpha(\mathbb{T})$ 是自反的。
• 控制收敛定理刻画了 $L^\alpha(\mathbb{T})$ 在 $\mathcal{L}^\alpha(\mathbb{T})$ 中的位置，且存在例子表明对某些连续 $\alpha$ 有 $\mathcal{L}^\alpha(\mathbb{T}) \neq L^\alpha(\mathbb{T})$。
• 对 $f \in L^\alpha(\mathbb{T}, X)$ 且 $\alpha$ 连续，$f$ 是其傅里叶级数的 Cesàro 平均关于 $\alpha$ 的极限。
• 在 $II_1$ 型 von Neumann 代数 $\mathcal{M}$ 中，若 $\alpha$ 和 $\alpha'$ 均为强连续，则有 $L^\alpha(\mathcal{M}, \tau)^\# = L^{\alpha'}(\mathcal{M}, \tau)$ 成立；且 $L^\alpha(\mathcal{M}, \tau)$ 为弱序列完备当且仅当 $\alpha$ 是强连续的。