[论文解读] Lecture Notes on Quantum Algorithms

Kamil Khadiev|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 13

一句话总结

本文全面概述了量子算法，重点介绍通过振幅放大实现的格罗弗搜索、基于SWAP测试的量子指纹识别，以及用于搜索与优化的量子行走。文章提出了一种基于量子行走的算法，对回溯问题实现了近乎二次加速，检测树中目标顶点的查询复杂度为 O(√T n¹·⁵ log n log(1/ε))。

ABSTRACT

The lecture notes contain three parts. The first part is Grover's Search Algorithm with modifications, generalizations, and applications. The second part is a discussion on the quantum fingerprinting technique. The third part is Quantum Walks (discrete time) algorithm with applications.

研究动机与目标

• 为研究人员和学生提供核心量子算法的结构化入门介绍。
• 将格罗弗搜索算法扩展至处理未知解的数量、多个解以及任意预言机的情况。
• 探索利用SWAP测试实现的量子指纹识别，以高效比较量子态。
• 开发并分析基于量子行走的算法，用于求解如哈密顿路径和旅行商问题等NP难问题。
• 提出一种基于量子行走的回溯算法，实现相对于经典方法的近乎二次加速，适用于树状结构的搜索空间。

提出的方法

• 利用格罗弗算法结合振幅放大，在未结构化数据库中实现 O(√N) 的查询复杂度。
• 通过SWAP测试实现量子指纹识别，仅使用一个量子比特即可高保真度地比较量子态。
• 将搜索树建模为二分图，其中偶数层和奇数层的节点分别构成集合 A 和 B。
• 采用一种经典操作符，对未标记的非根节点应用格罗弗扩散算符，对已标记节点应用恒等算符。
• 利用相位估计算法检测目标顶点的存在，通过检查量子行走演化算符的本征值是否为 1。
• 在层级上使用二分查找定位目标顶点，从而高效缩小搜索空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将格罗弗搜索算法推广以处理未知解的数量或任意预言机函数？
• RQ2 振幅放大在提升量子搜索算法成功概率方面起到什么作用？
• RQ3 能否通过SWAP测试实现的量子指纹识别，以极低的量子比特开销解决相等性和比较问题？
• RQ4 如何将量子行走适配于求解哈密顿路径或TSP等回溯问题，并实现可证明的加速？
• RQ5 使用量子行走检测树中目标顶点的查询复杂度是多少？其随树大小的扩展规律如何？

主要发现

• 基于量子行走的算法在大小为 T 的树中检测目标顶点的查询复杂度为 O(√T n¹·⁵ log n log(1/ε))。
• 相位估计算法的使用使得通过识别量子行走演化算符的本征值 1 来检测目标顶点的存在成为可能。
• 该算法相对于经典回溯方法实现了近乎二次加速，后者在大小为 T 的树上需要 O(T n) 的时间。
• 该方法可在节点未预先计算的树状搜索空间中实现高效搜索，通过函数 h(a) 动态构建树。
• 该方法可推广至哈密顿路径和TSP等问题，通过将问题建模为带剪枝的树搜索，其中预言机 f(a) 对无效子树返回 2。
• 该技术支持在层级上进行二分查找以定位目标顶点，从而在不存储整棵树的前提下缩小搜索空间。