[论文解读] Lectures on Anomalies

Adel Bilal|ArXiv.org|Feb 5, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 55

一句话总结

本文提供了量子场论中异常现象的全面、自包含的导论，通过多种方法——函数测度变换、三角费曼图和指标定理——推导了阿贝尔与非阿贝尔的轴向异常，同时确立了其有限性、局部性，并与BRST上同调及特征类建立了联系。主要贡献在于构建了一个统一框架，将异常与偶数维的拓扑不变量联系起来，且在标准模型与超弦理论中给出了明确的应用。

ABSTRACT

These lectures on anomalies are relatively self-contained and intended for graduate students who are familiar with the basics of quantum field theory. We begin with several derivations of the abelian anomaly: anomalous transformation of the measure, explicit computation of the triangle Feynman diagram, relation to the index of the Euclidean Dirac operator. The chiral (non-abelian) gauge anomaly is derived by evaluating the anomalous triangle diagram with three non-abelian gauge fields coupled to a chiral fermion. We discuss in detail the relation between anomaly, current non-conservation and non-invariance of the effective action, with special emphasis on the derivation of the anomalous Slavnov-Taylor/Ward identities. We show why anomalies always are finite and local. A general characterization is given of gauge groups and fermion representations which may lead to anomalies in four dimensions, and the issue of anomaly cancellation is discussed, in particular the classical example of the standard model. Then, we move to more formal developments and arbitrary even dimensions. After introducing a few basic notions of differential geometry, in particular characteristic classes, we derive the descent equations. We prove the Wess-Zumino consistency condition and show that relevant anomalies correspond to BRST cohomologies at ghost number one. We discuss why and how anomalies are related to characteristic classes in two more dimensions and outline their computation in terms of the index of an appropriate Dirac operator. Finally we derive the gauge and gravitational anomalies in arbitrary even dimensions from the appropriate index and explain the anomaly cancellations in ten-dimensional IIB supergravity and in type I and heterotic superstrings.

研究动机与目标

• 为研究生提供一种教学性强、自包含的量子场论中异常现象导论。
• 通过多种互补推导方法——测度变换、费曼图与指标定理——阐明异常的起源。
• 确立异常的有限性与局部性，这是其拓扑本质的直接结果。
• 在任意偶数维中，将异常与BRST上同调及特征类联系起来。
• 展示标准模型以及十维超重力与超弦理论中的异常消除机制。

提出的方法

• 通过规范场在轴向U(1)变换下费米子路径积分测度的异常变换，推导阿贝尔异常。
• 在微扰论中计算三角图（AVV），以提取当前非守恒的异常项。
• 利用二维及以上偶数维中的指标定理，将异常与欧几里得狄拉克算符的指标联系起来。
• 建立异常的斯拉夫诺夫-泰勒与沃德恒等式，以表征有效作用量的非不变性。
• 运用微分几何定义规范丛、陈-西蒙斯形式与特征类，并推导下降方程。
• 利用BRST上同调将异常分类为在ghost数为一的上同调类中，且满足韦斯-祖米诺一致性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 费米子测度在轴向U(1)规范变换下如何变换？其在生成阿贝尔异常中起什么作用？
• RQ2 异常的三角图计算与狄拉克算符指标之间的精确关系是什么？
• RQ3 异常的沃德与斯拉夫诺夫-泰勒恒等式如何产生？它们在表征非不变有效作用量中起什么作用？
• RQ4 为何异常总是有限且局部的？这如何从其拓扑起源中推导而出？
• RQ5 在高维中，下降方程与特征类如何对异常进行分类与计算，特别是在十维超重力与超弦理论中？

主要发现

• 阿贝尔异常源于轴向U(1)对称性下费米子测度的异常变换，导致当前非守恒。
• 三角图计算得到的异常是有限且局部的，与场强张量的对偶成正比，确认了其在4D中的结构。
• 异常与高两维中狄拉克算符的指标直接相关，如二维瞬子例子中明确所示。
• 异常通过BRST上同调在ghost数为一的类中分类，且韦斯-祖米诺一致性条件确保其在规范变换下的自洽性。
• 标准模型中的异常消除通过电弱规范中费米子表示的精确匹配实现，无论在未对称破缺还是对称破缺相。
• 在十维IIB超重力及I型与杂交弦理论的场论极限中，异常通过格林-施瓦茨机制实现消除，其机制依赖于高维陈-西蒙斯项的流入。