[论文解读] Lectures on Conformal Field Theory

Joshua D. Qualls|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 94被引用 25

一句话总结

这些讲义笔记为不同维度中的共形场论（CFT）提供了全面的入门介绍，内容从共形对称性和共形代数等基础概念，逐步推进到共形bootstrap程序和模不变性等高级主题。该工作强调径向量化、态-算符对应关系以及幺正性界限，重点在于为研究人员提供开展现代CFT研究（特别是共形bootstrap程序和临界现象）所需的技术工具。

ABSTRACT

These lectures notes are based on courses given at National Taiwan University, National Chiao-Tung University, and National Tsing Hua University in the spring term of 2015. Although the course was offered primarily for graduate students, these lecture notes have been prepared for a more general audience. They are intended as an introduction to conformal field theories in various dimensions, with applications related to topics of particular interest: topics include the conformal bootstrap program, boundary conformal field theory, and applications related to the AdS/CFT correspondence. We assume the reader to be familiar with quantum mechanics at the graduate level and to have some basic knowledge of quantum field theory. Familiarity with string theory is not a prerequisite for this lectures, although it can only help.

研究动机与目标

• 为初次接触该领域的研究生和研究人员提供一个自包含且易于理解的共形场论入门。
• 弥合基础量子场论与CFT领域当前研究主题（特别是共形bootstrap程序）之间的差距。
• 使读者掌握研究临界现象和量子引力对偶性所必需的技术工具，如径向量化、OPE和模不变性。
• 突出CFT中的开放问题，例如标度不变性与共形不变性之间的关系，以及4D CFT中异常的作用。
• 通过基础练习和概念清晰性，为读者进一步学习AdS/CFT对应、W代数和极小模型等高级主题做好准备。

提出的方法

• 通过无穷小共形变换和共形代数，在d > 2维中系统地构建共形场论。
• 引入径向量化和态-算符对应关系作为连接CFT中态与算符的核心工具。
• 通过Witt代数和Virasoro代数、初级场以及算符乘积展开（OPE）分析2D CFT，包括利用Kac行列式推导幺正性约束。
• 在环面上应用模不变性，推导对统计系综的约束，并在特定情况下导出Verlinde公式。
• 通过在高点函数中强制满足交叉对称性和OPE结合性，研究共形bootstrap程序。
• 利用c-theorem和a-theorem分析重整化群流与异常，特别是在4D中通过Weyl张量和Euler张量不变量进行分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，量子场论中的标度不变性可推出共形不变性？
• RQ2 模不变性与环面统计系综如何约束2D CFT的谱？
• RQ3 Kac行列式对2D CFT中幺正性有何影响？
• RQ4 共形bootstrap程序如何约束高阶关联函数中算符维数与OPE系数？
• RQ5 异常（特别是迹异常）在4D CFT中起什么作用？它们与Weyl张量等曲率不变量有何关联？

主要发现

• 在d ≠ 4维中，自由麦克斯韦理论是标度不变的，但不是共形不变的，因为其能量-动量张量的迹非零，且无法表示为全微分。
• 在d = 3维中，麦克斯韦场可被实现为自由标量场的次级态，从而构造出一个包含原始非共形理论作为子代数的幺正共形CFT。
• 在d ≥ 5维中，无法构造出任何幺正场，使得麦克斯韦场成为其次级态，因为其标度维数违反了幺正性界限。
• 4D CFT中的迹异常可通过Weyl张量和Euler张量表达，且其在Weyl缩放下的变换行为证实了它们作为共形不变曲率不变量的角色。
• 在2D CFT中，通过模bootstrap论证可得到谱中最低共形维数的上界，当中心电荷c > 1时存在非平凡约束。
• 六点函数中的交叉对称性自然源于OPE的结合性，暗示bootstrap方程背后存在某种图式结构。