[论文解读] Lectures on Deformation quantization of Poisson manifolds

Chiara Esposito|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文以柯特索维奇的形变形式性定理作为形变量子化的基础工具，对泊松流形的形变量子化进行了简明阐述。通过在多向量场的DGLA与多微分算子的DGLA之间构造一个$L_\infty$-拟同构，建立了形式泊松结构的等价类与星积的同构类之间的一一对应关系，从而证明了每个泊松流形都存在一个典范的形变量子化。

ABSTRACT

These notes are based on the course given at the School of Geometry, University Kasdi Merbah (Ouargla) 2012. The aim of the course was the deformation quantization of Poisson Lie groups. In these notes we only review Kontsevich's formality theorem.

研究动机与目标

• 为柯特索维奇形式性定理在形变量子化背景下的自包含介绍提供基础。
• 证明任意泊松流形均存在典范的形变量子化。
• 通过$L_\infty$-拟同构阐明形式泊松张量与星积之间的对应关系。
• 通过高阶同伦将霍赫希尔德-科斯塔-罗森伯格同构与完整的形式性定理联系起来。

提出的方法

• 利用光滑流形$M$上的多重向量场与多微分算子的微分分次李代数（DGLA）。
• 应用霍赫希尔德-科斯塔-罗森伯格定理，建立这些DGLA上上同调的拟同构。
• 构造一个$L_\infty$-拟同构$K: \mathfrak{g}_S^\bullet(M) \to \mathfrak{g}_G^\bullet(C^\infty(M))$，使得$K_1$与HKR映射一致。
• 在DGLA框架下应用Maurer-Cartan方程，对形式泊松结构与星积进行分类。
• 应用$L_\infty$-拟同构定理，诱导出模空间$M(\mathfrak{g}_S^\bullet(M))$与$M(\mathfrak{g}_G^\bullet(C^\infty(M)))$之间的双射。
• 使用$\hbar$的形式幂级数来定义星积以及形变的规范等价类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地在泊松流形上光滑函数代数上构造星积？
• RQ2 霍赫希尔德-科斯塔-罗森伯格同构在扩展为完整形式性定理中起到什么作用？
• RQ3 一个$L_\infty$-拟同构如何诱导泊松结构与星积之间的对应关系？
• RQ4 Maurer-Cartan模空间在分类形变量子化中的意义是什么？

主要发现

• 柯特索维奇形式性定理在光滑流形上建立了多向量场的DGLA与多微分算子的DGLA之间的典范$L_\infty$-拟同构。
• 形式性映射的分量$K_1$与霍赫希尔德-科斯塔-罗森伯格拟同构一致，将多重向量场的上同调与霍赫希尔德上同调联系起来。
• $L_\infty$-拟同构诱导出形式泊松结构的模空间与$C^\infty(M)$上星积的模空间之间的双射。
• 该对应关系证明了每个泊松流形均可通过星积实现典范的形变量子化。
• 星积的分类等价于形式泊松张量的分类，模去规范等价。
• 该理论实现了形式泊松结构等价类$\pi_\hbar$与$C^\infty(M)$上星积同构类之间的一一对应。