[论文解读] Lectures on Foliation Dynamics: Barcelona 2010

Steven Hurder|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 49被引用 5

一句话总结

本文对叶状结构动力学进行了全面综述，重点关注叶状结构流形中叶的渐近行为、极小集以及横截几何结构。通过引入形状动力学与贴花流形逼近方法，对极小集进行分类，将拓扑不变量、熵与Holonomy上循环联系起来，以理解叶状结构中超越经典微分同胚动力学的混沌与双曲行为。

ABSTRACT

This survey is based on a series of five lectures, given May 3--7, 2010, at the Centre de Recerca Matematica, Barcelona. The goal of the lectures was to present aspects of the theory of foliation dynamical systems which have particular importance for the classification of foliations of compact manifolds. The lectures emphasized intuitive concepts and informal discussion, while taking the reader into topics of active research in this subject. These notes update and expand on the lectures, and include more recent progress. This article also includes an extensive set of references, as well as highlighting many open questions and problems. A set of "homework problems" is also included, one for each day of lecture.

研究动机与目标

• 开发一个利用熵、轨道增长与极小集等动力学不变量对紧致流形的叶状结构进行分类的框架。
• 通过引入形状动力学与基于贴花流形的拓扑逼近，解决叶状结构动力学中不变测度缺失的问题。
• 通过分析叶的几何结构及其横截结构，将双曲性、李雅普诺夫指数与熵等概念推广至叶状结构。
• 探讨叶状结构分类映射的同伦类与其动力学性质之间的关系，特别是与Godbillon-Vey类及代数K-理论的关系。
• 为贴花流形提出广义的Sullivan猜想，并阐明其在叶状结构群分类空间中表示动力循环的作用。

提出的方法

• 使用形状动力学与分支流形的逆极限逼近叶状结构的极小集，将其视为贴花流形。
• 对极小集 $rak{M}$ 应用 $ ho$-分解，将 $ ext{GL}(q,bR)$-取值的上循环从Holonomy主群提升，从而定义法向指数。
• 引入局部熵 $h_{ ext{loc}}(rak{G}_{rak{F}}, w)$ 作为与极小集形状相关的动力学不变量。
• 利用分类映射 $ u: M o B ext{GL}(q,bR)$ 及其提升 $rak{H}_{rak{M}}: Brak{ ilde{rak{M}}} o B ilde{rak{rak{M}}}$ 的函子性，建立拓扑与动力学之间的联系。
• 利用Mather-Thurston定理，将 $B ilde{rak{rak{M}}}$ 的环路空间上同调与微分同胚群的上同调联系起来。
• 利用 $rak{ ilde{rak{M}}}$-上循环与Holonomy映射的导数，为形状逼近上的测地流定义法向指数系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些动力学不变量可基于极小集的形状动力学来表述？
• RQ2 在形状逼近上测地流存在非零法向指数时，其与极小集双曲性的关系是什么？
• RQ3 分类映射 $rak{H}_{rak{M}}$ 的同伦类与极小集的动力学结构之间存在何种关系？
• RQ4 能否将解析极小集的贴花流形解释为与代数K-理论相关的上同调理论中的广义循环？
• RQ5 叶状结构中指数轨道增长在何种条件下蕴含正熵？这与李雅普诺夫谱有何关联？

主要发现

• 局部熵 $h_{ ext{loc}}(rak{G}_{rak{F}}, w)$ 被定义为形状动力学不变量，提供了在极小集内点 $w$ 附近横截混沌程度的度量。
• 若其分解 $ ho: rak{M} o rak{Z}$ 与双曲Holonomy元素集合 $ extbf{H}_{rak{F}}$ 相交，则极小集 $rak{M}$ 具有双曲型形状动力学，意味着存在非零法向指数。
• Holonomy映射的导数在 $rak{M}$ 的同伦主群上诱导出一个取值于 $GL(q,bR)$ 的上循环 $D ho$，从而可为叶状测地流定义李雅普诺夫指数。
• 分类映射 $rak{H}_{rak{M}}: Brak{ ilde{rak{M}}} o B ilde{rak{rak{M}}}$ 仅依赖于 $rak{M}$ 的形状动力学，建立了拓扑与动力学之间的函子性联系。
• Mather-Thurston定理表明 $H^*( ext{holonomy 主群}) o H^*( ext{Diff}_c^r(bR^q))$，将叶状结构动力学与群上同调联系起来，暗示存在更深层的代数结构。
• 本文提出，解析极小集的贴花流形可能代表广义上同调理论中的循环，且与通过 $B ilde{rak{rak{M}}}$ 关联的数域代数K-理论存在潜在联系。