[论文解读] Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry

Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文为霍斯多夫与格罗莫夫–霍斯多夫距离几何提供了全面的研究生水平导论，先建立拓扑与度量空间理论的基础，再发展格罗莫夫–霍斯多夫收敛理论及其应用。主要贡献是通过格罗莫夫–霍斯多夫距离到度量单形的新型刻画，实现了对有限图中团覆盖数与色数的表征，从而可通过几何距离度量实现这些图不变量的算法计算。

ABSTRACT

The course was given at Peking University, Fall 2019. We discuss the following subjects: (1) Introduction to general topology, hyperspaces, metric and pseudometric spaces, graph theory. (2) Graphs in metric spaces, minimum spanning tree, Steiner minimal tree, Gromov minimal filling. (3) Hausdorff distance, Vietoris topology, Limits theory, inheritance of completeness, total boundedness, compactness by hyperspaces. (4) Gromov-Hausdorff distance, triangle inequality, positive definiteness for isometry classes of compact spaces, counterexample for boundedly compact spaces. (5) Gromov-Hausdorff distance for separable spaces in terms of their isometric images in \ell_\infty, correspondences, Gromov-Hausdorff distance in terms of correspondences. (6) Epsilon-isometries and Gromov-Hausdorff distance. (7) Irreducible correspondences and Gromov-Hausdorff distance. (8) Gromov-Hausdorff convergence, inheritance of metric and topological properties while Gromov-Hausdorff convergence. (9) Gromov-Hausdorff space (GH-space), optimal correspondences, existence of closed optimal correspondences for compact metric spaces, GH-space is geodesic. (10) Cover number, packing number, total boundedness, completeness, and separability of GH-space. (11) mst-spectrum in terms of GH-distances to simplexes, Steiner problem in GH-space. (12) GH-distance to simplexes with more points, GH-distance to simplexes with at most the same number of points. (13) Generalized Borsuk problem, solution of Generalized Borsuk problem in terms of GH-distances, clique covering number and chromatic number of simple graphs, their dualities, calculating these numbers in terms of GH-distances.

研究动机与目标

• 为距离几何提供严谨且自包含的一般拓扑、度量空间与曲线理论导论。
• 在紧致与完备度量空间中发展霍斯多夫与格罗莫夫–霍斯多夫距离的理论。
• 确立紧致度量空间的格罗莫夫–霍斯多夫空间的测地线与完备性性质。
• 将格罗莫夫–霍斯多夫距离应用于解决图论中的经典问题，特别是团覆盖与色数计算。

提出的方法

• 利用标准拓扑构造（子空间、积、商、维特勒斯拓扑）与度量空间嵌入，定义并分析收敛性与紧致性。
• 在紧致与完备度量空间上引入紧致子集的霍斯多夫度量，并证明极限定理。
• 通过不可约对应关系定义格罗莫夫–霍斯多夫距离，并证明紧致度量空间之间最优对应关系的存在性。
• 应用阿泽拉–阿斯科利定理与霍夫夫–里诺条件，证明度量空间中最短曲线与测地线的存在性。
• 通过为相邻顶点赋距离 $a$、非相邻顶点赋距离 $b > a$ 的方式，在有限图上构造度量，将图团与直径较小的子集相联系。
• 利用定理 8.7，将格罗莫夫–霍斯多夫距离 $2d_{GH}(a\Delta_k, V)$ 与覆盖 $V$ 所需的直径小于 $\operatorname{diam}V$ 的子集最小数量相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗莫夫–霍斯多夫距离如何用于刻画覆盖有限度量空间所需的严格更小直径子集的最小数量？
• RQ2 有限度量空间到单形的格罗莫夫–霍斯多夫距离与关联图的团覆盖数之间存在何种关系？
• RQ3 能否通过格罗莫夫–霍斯多夫距离到度量单形来计算图的色数？
• RQ4 在何种条件下，紧致度量空间的格罗莫夫–霍斯多夫空间会成为测地线空间或完全有界的？
• RQ5 有限度量空间的 $\operatorname{mst}$-谱与其到单形的格罗莫夫–霍斯多夫距离之间有何关系？

主要发现

• 有限简单图 $G$ 的团覆盖数 $\theta(G)$ 等于 $m+1$，其中 $m$ 是满足 $2d_{GH}(a\Delta_k, V) = b$ 的最大整数 $k$，且 $a < b \leq 2a$。
• 对于定义了度量的有限图 $G$（相邻顶点距离为 $a$，非相邻顶点距离为 $b > a$），有 $\theta(G) = m+1$，其中 $m$ 是满足 $2d_{GH}(a\Delta_k, V) = b$ 的最大 $k$。
• 图 $G$ 的色数 $\gamma(G)$ 等于 $m+1$，其中 $m$ 是满足 $2d_{GH}(a\Delta_k, V) = b$ 的最大 $k$，当距离反向时：相邻顶点距离为 $b$，非相邻顶点距离为 $a$。
• 紧致度量空间的格罗莫夫–霍斯多夫空间是完备且可分的，且为测地线空间，即任意两个紧致度量空间之间都存在一条最小化测地线。
• 有限度量空间的 $\operatorname{mst}$-谱可通过其到单形的格罗莫夫–霍斯多夫距离计算，从而将组合优化与度量几何相联系。
• 若有限度量空间 $X$ 的直径为 $d$，则当且仅当 $2d_{GH}(\lambda\Delta_m, X) = d$（其中 $\lambda = d/2$）时，$X$ 无法被划分为 $m$ 个严格更小直径的子集。