[论文解读] Lectures on modular forms and strings

Eric D’Hoker, Justin Kaidi|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用 9

一句话总结

本文提供了对模形式及其推广形式（如Maass形式、仿模形式和模图函数）的全面且易于理解的介绍，强调其在弦理论与数论中的核心作用。文章运用复分析、代数几何和环面上的量子场论工具推导关键结果，展示了模不变性如何支撑弦理论中的对偶性以及黑洞微态的计数。

ABSTRACT

The goal of these lectures is to present an informal but precise introduction to a body of concepts and methods of interest in number theory and string theory revolving around modular forms and their generalizations. Modular invariance lies at the heart of conformal field theory, string perturbation theory, Montonen-Olive duality, Seiberg-Witten theory, and S-duality in Type IIB superstring theory. Automorphic forms with respect to higher arithmetic groups as well as mock modular forms enter in toroidal string compactifications and the counting of black hole microstates. After introducing the basic mathematical concepts including elliptic functions, modular forms, Maass forms, modular forms for congruence subgroups, vector-valued modular forms, and modular graph forms, we describe a small subset of the countless applications to problems in Mathematics and Physics, including those mentioned above.

研究动机与目标

• 为数学和理论物理领域的研究人员提供一个自包含、严谨但易懂的模形式及其推广形式的导论。
• 在数论基础概念（如椭圆函数、模群和Hecke理论）与弦理论中的高级应用之间建立桥梁。
• 阐明模不变性在关键物理对偶性（包括Type IIB弦理论中的S对偶性和Montonen-Olive对偶性）中的作用。
• 通过theta函数和Szegö核，推导环面上bc系统与旋量系统的关联函数的显式公式，并将其与模性质联系起来。
• 建立模图函数、迭代模积分与全纯模形式之间的联系，特别是在弦微扰理论的背景下。

提出的方法

• 系统地利用复分析与格点理论发展椭圆函数与模形式的理论，包括Weierstrass和Jacobi椭圆函数。
• 通过模群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 引入模不变性，推导Eisenstein级数和$j$-不变量作为关键不变量。
• 将理论应用于环面上的量子场系统，通过Green函数和Szegö核计算bc场与旋量场的行列式与关联函数。
• 以Riemann theta函数和Siegel模形式表达关联函数的显式形式，其模变换性质通过 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z})$ 编码。
• 将模图函数引入为模形式的迭代积分，将其与非全纯Eisenstein级数和Maass形式联系起来。
• 利用模曲线上拉普拉斯算子的谱分解分析Maass形式及其在高阶自守形式中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 模形式及其推广形式（如仿模形式和模图函数）如何自然地出现在弦微扰理论中？
• RQ2 环面上bc场与旋量场的关联函数的精确模变换行为是什么？其在theta函数中如何编码？
• RQ3 在亏格$g$的黎曼曲面上，费米子场的零模式如何影响共形场论中关联函数的结构？
• RQ4 模图函数与迭代模积分之间的关系是什么？它们如何与全纯模形式相关联？
• RQ5 高阶模形式与Siegel theta函数如何与Calabi-Yau紧化几何及黑洞熵计数相联系？

主要发现

• 在亏格-$g$黎曼曲面上，$M$个b场与$M$个c场的关联函数在模变换下满足 $\widetilde{G}_M = \det(C\Omega + D)^{-1} G_M$，通过辛群 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z})$ 确认了模不变性。
• 当 $n = \frac{1}{2}$ 且为偶自旋结构时，关联函数为 $\langle b(z_1)\cdots c(w_1)\rangle = \det S_\delta(z_i, w_j)$，其中 $S_\delta$ 为Szegö核，另一种表达式涉及theta函数的比值。
• 当 $n = \frac{1}{2}$ 且为奇自旋结构时，关联函数包含零模式贡献 $h_\nu(z)h_\nu(w)$，一般公式涉及Green函数矩阵的子式之和。
• 当 $n = 1$ 时，最简单的非零关联函数为 $G_0 = \det \omega_I(z_i)$，一般形式为 $G_M = \frac{\vartheta[D](\zeta|\Omega)}{Z} \cdot \frac{\prod_{i<j} E(z_i,z_j) \prod_{a<b} E(w_a,w_b)}{\prod_{i,a} E(z_i,w_a)}$，其中 $\zeta = \sum z_i - \sum w_a - (2n-1)\Delta$。
• 当 $n \geq \frac{3}{2}$ 时，纯全纯关联函数 $\langle b(z_1)\cdots b(z_\Upsilon)\rangle = \frac{\vartheta[\delta](\zeta|\Omega)}{Z} \cdot \prod_{a<b} E(z_a,z_b)^{-1} \prod_a \sigma(z_a)^{-1}$，其中 $\Upsilon = (2n-1)(g-1)$，完全由零模式饱和。
• 一环图的模图函数被识别为非全纯Eisenstein级数，而二环图的模图函数则被证明为模形式的迭代积分，与多重zeta值和模图形式理论相联系。