[论文解读] Lectures on open book decompositions and contact structures

John B. Etnyre|ArXiv.org|Sep 21, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用 124

一句话总结

本文全面综述了闭合定向三维流形上开书分解与接触结构之间的对应关系，确立了在正稳定化等价关系下，定向接触结构的同痕类与开书分解的等价类之间存在一一对应。其核心贡献在于对Giroux基本定理的详尽证明与阐述，该定理由现代接触几何奠定基础，并在低维拓扑学中具有深远影响，包括辛填充与纽结不变量的研究。

ABSTRACT

These are lecture notes from the Clay Mathematics Institute summer school ``Floer Homology, Gauge Theory, and Low Dimensional Topology'' Alfred Renyi Institute; www.claymath.org/programs/summer_school/2004/. The main goal of these notes is to sketch a proof of Giroux correspondence between open book decompositions of three manifolds and contact structures, and then discuss various applications of this correspondence.

研究动机与目标

• 提供Giroux关于三维流形上开书分解与接触结构之间对应关系的自包含且易于理解的阐述。
• 阐明正稳定化在通过开书分类接触结构同痕类中的作用。
• 展示该对应关系如何促成深刻的拓扑应用，例如刻画平凡纽结并理解辛填充。
• 建立接触几何与低维拓扑学的基础工具，包括德恩扭转与链关系的使用。
• 通过辛填充将开书分解与关键不变量（如Thurston范数和Heegaard Floer同调）联系起来。

提出的方法

• 将开书分解定义为将3-流形去掉一个绑定纽结后，纤维化到圆周上，其中页为带边界的紧致曲面。
• 引入抽象开书作为对(Σ, φ)，其中φ是具有边界的曲面Σ的微分同胚，且在边界附近恒等，并通过映射环面构造关联的3-流形，再通过黏合实心环面完成。
• 利用单行（monodromy）φ通过Thurston-Winkelnkemper构造方法构造接触结构，确保接触平面与页横截。
• 通过凸面理论与同痕到相容开书的步骤，反向构造：证明任意接触结构均可诱导出一个开书分解。
• 应用链关系与德恩扭转计算分析单行，并构造示例，特别是针对过度扭转结构。
• 利用Eliashberg对过度扭转接触结构的分类以及soboring弧的概念，通过开书刻画过度扭转性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从给定的开书分解构造一个接触结构？
• RQ2 如何从给定3-流形上的接触结构重构一个开书分解？
• RQ3 正稳定化在通过开书分类接触结构时的精确作用是什么？
• RQ4 开书与接触结构之间的对应关系如何促进对辛填充与拓扑不变量的研究？
• RQ5 从其支持的开书分解来看，什么特征定义了一个过度扭转接触结构？

主要发现

• 在正稳定化等价关系下，闭合定向3-流形M上定向接触结构的同痕类与M的开书分解的等价类之间存在一一对应。
• 当且仅当其支持的开书分解允许存在一个soboring弧时，接触结构为过度扭转，这提供了一个关于过度扭转性的组合判别准则。
• 任何接触3-流形的辛填充均可对称地嵌入到一个闭合的辛4-流形中，这一结果支撑了众多拓扑应用。
• 通过接触-拓扑对应关系，3-流形的Thurston范数可由Heegaard Floer同调确定。
• 平凡纽结的特征是：对它进行p-德恩手术可得到Lens空间 -L(p,1)，该结果通过开书与接触结构工具重新证明。
• 任何紧致、定向、带边界的曲面的微分同胚均可表示为关于非分离曲线的右旋德恩扭转与关于边界平行曲线的德恩扭转的复合，该结论由链关系与Lickorish定理确立。