[论文解读] Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用 7

一句话总结

本文利用 perverse sheaves 和 stable envelopes，为 R⁴ 上的 instanton 模空间构建了一个几何表示理论框架，建立了 Uhlenbeck 紧化空间的等变交化解析上同调与仿射李代数及 W-代数表示理论之间的联系。关键结果是，模空间的生成函数在 W-代数 Verma 模中构成一个 Whittaker 向量，从而为 ADE 型规范群提供了 AGT 对应关系的严格数学实现。

ABSTRACT

I will explain my joint paper `Instantons moduli spaces and W-algebras' with A.Braverman, M.Finkelberg, arXiv:1406.2381. I will concentrate on the geometric part, that is a study of perverse sheaves on instanton moduli spaces. I place a particular emphasize on the hyperbolic restriction functor and stable envelop, which are our key tools, and appear also in other situations in geometric representation theory. These are lecture notes for a course in 2015 PCMI.

研究动机与目标

• 使用 perverse sheaves 和 stable envelopes，在 R⁴ 上为 instanton 模空间建立几何表示理论。
• 将 Uhlenbeck 紧化空间的等变交化解析上同调与仿射李代数及 W-代数的表示理论联系起来。
• 通过将 Nekrasov 分区函数实现为模空间的上同调不变量，为 AGT 对应关系提供数学基础。
• 将 A 型的结果推广至 ADE 型李群，重点关注 W-代数在编码拓扑不变量中的作用。

提出的方法

• 以 R⁴ 上框架化 instanton 模空间的 Uhlenbeck 部分紧化作为核心几何对象。
• 应用 stable envelopes（由 Maulik-Okounkov 引入，并通过 Braden 的双曲限制重新表述），构造不同 strata 上同调群之间的典范同构。
• 使用 perverse sheaves 与关于 T × C× × C× 的等变上同调，其中 T 通过框架变换作用，C× × C× 作用于 C² = R⁴。
• 利用卷积代数与 Ext-代数同构（来自 CG, §8.6），将层论构造与表示论结构联系起来。
• 应用 W-代数理论（例如 Frenkel-Zhu 的工作），将上同调不变量解释为顶点代数模。
• 依赖于导出范畴中等变层与 Borel-Moore 同调的基础工具，如 [BL] 和 [more] 所述。

实验结果

研究问题

• RQ1 Uhlenbeck 紧化 instanton 模空间上的 perverse sheaves 如何实现仿射李代数与 W-代数的表示？
• RQ2 在 R⁴ 上框架化 instantons 的背景下，stable envelope 构造的精确几何意义是什么？
• RQ3 模空间的等变交化解析上同调如何编码 Nekrasov 分区函数，并与共形场论相关联？
• RQ4 为何模空间上基本循环的和对应于 W-代数 Verma 模中的 Whittaker 向量？
• RQ5 W-代数结构在 instanton 模空间上同调中出现的内在几何原因是什么？

主要发现

• 生成函数 ∑d[𝒰ᴳᵈ] 被识别为与规范群 G 相关的 W-代数 Verma 模中的 Whittaker 向量。
• 等变交化解析上同调群 IH*_{T×C××C×}(𝒰ᴳᵈ) 自然地作用有 W-代数，以数学上严格的形式实现了 AGT 对应关系。
• stable envelope 构造在 Uhlenbeck 紧化中不同 strata 的上同调群之间提供了典范同构，这对于定义 W-代数作用至关重要。
• 对于 A 型，Gieseker 紧化 ̃𝒰ʳᵈ 上的等变欧拉类 e(𝒱)ʳ 的 r 次幂对应于带有正则极点的圆柱面，与 Nekrasov 分区函数相关。
• ̃𝒰ʳᵈ 的维数为 2dr，与 e(𝒱)ʳ 的次数一致，确认了其在等变设定中的上同调自然性。
• 该构造可推广至 ADE 型，其中 W-代数表示由 R⁴ 上框架化 instanton 模空间的几何结构所产生。