[论文解读] Lectures on random polymers

Francesco Caravenna, den WThF Frank Hollander+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Theoretical and Computational Physics参考文献 79被引用 7

一句话总结

本文对随机聚合物提供了全面的数学分析，重点研究无序与非无序系统中的相变和标度极限。通过大偏差理论与随机过程的工具，建立了关于自由能、局域化、塌陷及润湿相变的严格结果，主要贡献包括对 quenched 自由能的表征，以及在定向聚合物中随机势场下相变阶数的刻画。

ABSTRACT

These lecture notes are a guided tour through the fascinating world of polymer chains interacting with themselves and/or with their environment. The focus is on the mathematical description of a number of physical and chemical phenomena, with particular emphasis on phase transitions and space-time scaling. The topics covered, though only a selection, are typical for the area. Sections 1-3 describe models of polymers without disorder, Sections 4-6 models of polymers with disorder. Appendices A-E contain tutorials in which a number of key techniques are explained in more detail.

研究动机与目标

• 为理解随机聚合物中相变，特别是存在无序情况下的相变，提供严格的数学框架。
• 运用统计力学与概率论分析聚合物排斥性、溶剂质量与外场之间的相互作用。
• 表征具有随机势场的定向聚合物中的 quenched 自由能与相变，尤其关注二维情形。
• 建立聚合物模型与通用标度极限（如 Schramm-Loewner Evolution (SLE)）之间的联系。

提出的方法

• 利用大偏差原理（LDP）与 Sanov 定理分析随机路径的经验测度，推导自由能的变分表征。
• 应用 Kingman 的次可加大数定律与测度集中理论，证明在 quenched 与 annealed 情形下自由能的收敛性。
• 采用生成函数与递归路径分解方法，分析定向聚合物模型中的配分函数与相变行为。
• 利用条件期望与鞅论方法，估计在无序中出现罕见且极大波动情况下的 quenched 自由能。
• 应用 Cramér 大偏差定理计算 i.i.d. 随机变量和的速率函数，这对自由能的有界性至关重要。
• 通过适应高斯与二值无序近似，将结果从连续无序模型推广至离散无序模型，确保相变结果的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不良溶剂中，定向聚合物的塌陷相变的本质是什么？其如何依赖于温度与溶剂质量？
• RQ2 在随机势场中，定向聚合物的 quenched 自由能行为如何？其局域化的起始条件由什么决定？
• RQ3 在聚合物于随机界面处的钉扎模型中，相变的阶数如何？其如何依赖于无序强度？
• RQ4 二维自相互作用随机聚合物的标度极限是否可用 Schramm-Loewner Evolution (SLE) 描述？
• RQ5 随机界面的存在如何影响聚合物链的润湿与去钉扎相变？

主要发现

• 当 $\frac{3}{4}\log M(\frac{4}{3}\beta) - \beta h > 0$ 时，quenched 自由能严格为正，其中 $M(\lambda) = \mathbb{E}[e^{\lambda \omega_1}]$，表明存在非平凡的局域化相。
• 钉扎模型中相变阶数为连续，且对小的 $\delta > 0$，有 $g^{\mathrm{que}}(\beta, h_c - \delta) - g^{\mathrm{que}}(\beta, h_c) \leq \frac{1}{4}\delta^2$，表明为二阶相变。
• 具有随机势场的定向聚合物的自由能通过涉及累积生成函数 Legendre 变换的变分公式表征。
• 对于 i.i.d. 高斯无序，quenched 自由能满足 $g^{\mathrm{que}}(\beta, h_c) \geq p_{l,\delta} \left[ -\frac{3}{2} \log(p_{l,\delta}^{-1} - l) + O(\log l) + \mathbb{E}[\log Z_l^{\beta, h_c, \omega} \mid \Omega_1 \leq -\delta l] \right]$，从而实现精确的渐近界。
• Cramér 定理中速率函数 $\Sigma(\delta)$ 满足 $\Sigma(\delta) = \sup_{\lambda > 0} [\lambda \delta - \log M(-\lambda)]$，该式用于推导相变的临界曲线。
• 通过证明在大-$l$ 极限下条件期望中的高斯近似依然有效，将证明从高斯无序推广至二值无序。