[论文解读] Lectures on Springer theories and orbital integrals

Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 36被引用 12

一句话总结

本文深入阐述了施普林格理论及其与轨道积分的联系，聚焦于施普林格纤维、仿射施普林格纤维和希钦纤维的几何结构。它在这些纤维的上同调上建立了威尔群作用——特别是通过仿射威尔群在仿射施普林格纤维上的作用——并将其与p进李群中的轨道积分联系起来，为理解兰兰兹纲领中的基本引理提供了基础工具。

ABSTRACT

These are the expanded lecture notes from the author's mini-course during the graduate summer school of the Park City Math Institute in 2015. The main topics covered are: geometry of Springer fibers, affine Springer fibers and Hitchin fibers; representations of (affine) Weyl groups arising from these objects; relation between affine Springer fibers and orbital integrals.

研究动机与目标

• 通过其共同的表示论意义，建立施普林格纤维、仿射施普林格纤维和希钦纤维之间的几何框架。
• 阐明威爾群作用在這些纖維上同調上的角色，特別是在該作用不來自幾何對稱性的情況下。
• 建立p進李群中軌道積分與仿射施普林格纖維上同調之間的精確關係，這是基本引理的關鍵。
• 通過希钦纖維化和伊瓦霍里層次結構，將施普林格對應關係推廣到全局設定。
• 為研究幾何朗蘭茲綱領和基本引理的研究者提供一個自包含的介紹，特別是針對參加PCMI暑期學校的學員。

提出的方法

• 利用施普林格解析和格羅滕迪克變換來研究在幂零軌上的施普林格纖維的幾何結構。
• 通過環群和帕拉霍里子群，在仿射格拉斯曼ian中引入仿射施普林格纖維，並以格基定義以增強清晰度。
• 通過單值性與傅里葉變換技術，構造仿射威爾群 $\widetilde{W}$ 在仿射施普林格纖維上同調上的作用。
• 應用希钦纖維化來構造仿射施普林格理論的全局類比，並在抛物希钦纖維的上同調上建立 $\widetilde{W}$-作用。
• 建立一個乘積公式，將拋物希钦纖維的上同調與仿射施普林格纖維的乘積聯繫起來，從而連結局部與全局幾何結構。
• 利用分次雙仿射赫克代數（DAHA）理論來推廣 $\widetilde{W}$-作用，並研究上同調的穩定性性質。

实验结果

研究问题

• RQ1 施普林格纖維的幾何性質——如連通性、等維性與純性——如何與表示理論相關？
• RQ2 p進李群中的軌道積分與仿射施普林格纖維上同調之間的精確關係為何？
• RQ3 為何仿射施普林格纖維上同調上的 $\widetilde{W}$-作用不來自於該簇本身的幾何作用？
• RQ4 希钦纖維化如何作為仿射施普林格理論的全局類比？$\widetilde{W}$-作用如何傳遞？
• RQ5 如何利用拋物希钦纖維與仿射施普林格纖維之間的乘積公式來推導仿射施普林格作用的性質？

主要发现

• 仿射施普林格纖維的上同調自然攜帶仿射威爾群 $\widetilde{W}$ 的作用，但該作用並非來自於纖維本身的幾何作用。
• 當 $G = \mathrm{GL}_n$ 時，仿射施普林格纖維的上同調同構於局部域中分數理想集合上的函數空間，從而將幾何與軌道積分聯繫起來。
• 仿射施普林格纖維的維數公式為 $\dim \mathcal{Y}_\gamma = \frac{1}{2} \left( \dim G - \dim G_\gamma + \mathrm{rk}(G_\gamma) \right)$，其中 $G_\gamma$ 是 $\gamma$ 的中心化子。
• 當 $G = \mathrm{SL}_2$ 時，次正則仿射施普林格纖維僅有一個不可約分支，維數為 1，其上同調支撐著威爾群的標準表示。
• 拋物希钦纖維 $\mathcal{M}^{\textup{par}}_{a,x}$ 在其上同調上具有 $\widetilde{W}$-作用，且與 $\mathcal{Y}_{a_x}$ 上的仿射施普林格作用相容，如定理 54 所示。
• 當 $\deg \mathcal{L} > 2g - 1$ 時，$\widetilde{W}$-作用在 $\mathbf{R}f^{\textup{par}}_!\mathbb{Q}_\ell$ 上可延拓至分次雙仿射赫克代數，根據定理 54 及 [GS, Th 6.1.6]。